6. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 12/13. Диаметр описанной около него окружности равен 13. Найдите площадь прямоугольника.

Question

Вопрос:

6. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 12/13. Диаметр описанной около него окружности равен 13. Найдите площадь прямоугольника.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Для решения задачи воспользуемся свойствами прямоугольника, вписанного в окружность. 1. Пусть прямоугольник имеет стороны $a$ и $b$, а диагональ равна $d$. 2. У прямоугольника, вписанного в окружность, диагональ совпадает с диаметром этой окружности. По условию, диаметр равен 13, значит диагональ $d = 13$. 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный двумя сторонами прямоугольника и диагональю. Пусть $\alpha$ — угол между стороной $a$ и диагональю $d$. Тогда $\sin \alpha = \frac{12}{13}$. 4. Из определения синуса в прямоугольном треугольнике: $\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{b}{d}$. Отсюда $b = d \cdot \sin \alpha = 13 \cdot \frac{12}{13} = 12$. 5. Найдем вторую сторону $a$ по теореме Пифагора: $a^2 + b^2 = d^2$ $a^2 + 12^2 = 13^2$ $a^2 + 144 = 169$ $a^2 = 169 - 144 = 25$ $a = 5$. 6. Площадь прямоугольника $S = a \cdot b = 5 \cdot 12 = 60$. **Ответ: 60**

6. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 12/13. Диаметр описанной около него окружности равен 13. Найдите площадь прямоугольника.

Ответ ассистента

Другие решения