1. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10 см, а его основание 12 см. Найдите его площадь.

Решения задач: 1. Пусть треугольник $ABC$ — равнобедренный с боковыми сторонами $AB=AC=10$ см и основанием $BC=12$ см. Проведем высоту $AH$ к основанию. Так как треугольник равнобедренный, $AH$ также является медианой, значит $BH = HC = 12 / 2 = 6$ см. Из прямоугольного треугольника $AHB$ (по теореме Пифагора): $AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$ см. Площадь треугольника: $S = 0.5 \cdot BC \cdot AH = 0.5 \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см$^2$. 2. В параллелограмме $ABCD$ биссектриса угла $A$ пересекает $BC$ в точке $K$. Так как $\angle BAK = \angle KAD$ (биссектриса) и $\angle KAD = \angle BKA$ (накрест лежащие при $BC \parallel AD$), то $\angle BAK = \angle BKA$. Значит, треугольник $ABK$ равнобедренный, $AB = BK = 8$ см. Сторона $BC = BK + KC = 8 + 4 = 12$ см. Периметр: $P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (8 + 12) = 2 \cdot 20 = 40$ см. 3. В трапеции $ABCD$ ($\angle A = \angle B = 90^\circ$), $AC$ — биссектриса угла $A$, значит $\angle BAC = \angle CAD = 45^\circ$. Поскольку $BC \parallel AD$, то $\angle BCA = \angle CAD = 45^\circ$. Треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB = BC$). В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AC = 6$ см. По теореме Пифагора: $AB^2 + BC^2 = 6^2 \Rightarrow 2AB^2 = 36 \Rightarrow AB^2 = 18 \Rightarrow AB = 3\sqrt{2}$ см. Высота трапеции $h = AB = 3\sqrt{2}$ см, $BC = 3\sqrt{2}$ см. В трапеции $\angle D = 60^\circ$, опустим высоту $CH_1$. В $\triangle CDH_1$ ($CDH_1 = 90^\circ$): $DH_1 = CH_1 / \tan 60^\circ = 3\sqrt{2} / \sqrt{3} = \sqrt{6}$ см. Основание $AD = AH_1 + H_1D = BC + \sqrt{6} = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}$. Площадь $S = \frac{BC + AD}{2} \cdot h = \frac{3\sqrt{2} + 3\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \cdot 3\sqrt{2} = \frac{6\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2} \cdot 3\sqrt{2} = 9 \cdot 2 + 1.5 \sqrt{12} = 18 + 3\sqrt{3}$ см$^2$. 4. По теореме о пересекающихся хордах $AK \cdot BK = CK \cdot DK$. Дано: $CK=6$, $AK=8$. Пусть $BK=x$, тогда $DK = 28-x$. Получаем: $8x = 6(28-x) \Rightarrow 8x = 168 - 6x \Rightarrow 14x = 168 \Rightarrow x = 12$. Значит, $BK = 12$ см, $DK = 28 - 12 = 16$ см. 5. Квадрат со стороной 8 см описан около окружности, значит, диаметр окружности $d = 8$ см, радиус $R = 4$ см. Вписанный в окружность прямоугольный треугольник имеет гипотенузу, равную диаметру ($d = 8$ см). Угол $30^\circ$ лежит против катета $a$, тогда $a = d \cdot \sin 30^\circ = 8 \cdot 0.5 = 4$ см. Второй катет $b = d \cdot \cos 30^\circ = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ см. Площадь треугольника $S = 0.5 \cdot a \cdot b = 0.5 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см$^2$.