На рисунке 62 точка O — центр окружности, ∠ABC = 28°. Найдите угол AOC.

1. По теореме о вписанном угле, центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. Угол ABC опирается на дугу AC, угол AOC — центральный, опирающийся на ту же дугу AC. Следовательно, $\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 28^\circ = 56^\circ$. Ответ: 56°. 2. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $\angle ODC = 90^\circ$. Получаем прямоугольный треугольник ODC. Нам известен катет OD (радиус = 6 см) и угол $\angle DCO = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. $\sin(30^\circ) = OD / OC$. Отсюда $OC = OD / \sin(30^\circ) = 6 / 0.5 = 12$ см. Ответ: 12 см. 3. Рассмотрим треугольники AOC и AOD. 1) $OA = OC = OD$ как радиусы одной окружности. 2) $\angle BAC = \angle BAD$ по условию. Треугольники AOC и AOD — равнобедренные (стороны OA, OC и OA, OD — радиусы). Однако проще рассмотреть треугольники: у них $OA$ — общая сторона, $\angle OAC = \angle OAD$ (по условию, так как углы вписаны в окружность и опираются на равные хорды, или проще: $\angle BAC = \angle BAD$, а $OA=OC=OD$). Так как $OA=OC=OD$, то $\triangle AOC$ и $\triangle AOD$ — равнобедренные. В $\triangle AOC$ углы при основании $AC$: $\angle OCA = \angle OAC$. В $\triangle AOD$ углы при основании $AD$: $\angle ODA = \angle OAD$. Так как $\angle OAC = \angle OAD$, то $\angle OCA = \angle ODA$. Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (или по двум сторонам и углу между ними: $OA=OA$, $\angle OAC = \angle OAD$, $OC=OD$). Следовательно, $AC = AD$. 4. План построения: 1) Проводим прямую, откладываем на ней сторону треугольника $a$. 2) Из вершины, противолежащей основанию, проводим окружность радиусом, равным медиане, чтобы она пересекла основание в его середине. 3) Соединяем вершину с серединой основания, проводим прямую. 4) Откладываем на этой прямой длину медианы. Полученная точка — третья вершина треугольника. 5. Точка, равноудаленная от двух данных точек, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, соединяющему эти точки. Искомая точка должна лежать одновременно на серединном перпендикуляре и на окружности. Серединный перпендикуляр может пересекать окружность в 0, 1 или 2 точках. Значит, задача может иметь 0, 1 или 2 решения.