В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, угол B – прямой. Вычисли углы треугольника A и C, а также центральные углы, если ∠ FOE = 146°.

### Решение: 1. Рассмотрим четырехугольник $BDOE$. Так как $OD \perp AB$, $OE \perp BC$ и $\angle B = 90^{\circ}$, а также $OD = OE = r$ (радиусы вписанной окружности), то $BDOE$ — квадрат. Следовательно, $\angle DOE = 90^{\circ}$. 2. Рассмотрим четырехугольник $OECF$. Углы $\angle OEC$ и $\angle OFC$ равны $90^{\circ}$ (радиусы, проведенные в точки касания). Сумма углов четырехугольника равна $360^{\circ}$, поэтому $\angle EOF = 180^{\circ} - \angle C$. Нам известно, что $\angle FOE = 146^{\circ}$, значит: $\angle C = 180^{\circ} - 146^{\circ} = 34^{\circ}$. 3. Так как $\triangle ABC$ прямоугольный, то $\angle A = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - 34^{\circ} = 56^{\circ}$. 4. Рассмотрим четырехугольник $AFOD$. В нем $\angle ADO = 90^{\circ}$ и $\angle AFO = 90^{\circ}$. Значит, $\angle DOF = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 56^{\circ} = 124^{\circ}$. **Ответ:** $\angle A = 56^{\circ}$ $\angle C = 34^{\circ}$ $\angle DOE = 90^{\circ}$ $\angle DOF = 124^{\circ}$