а) Решите уравнение $\log_2(\sin 2x) = \log_2 (\sqrt{2} \cos x)$.

Для решения уравнения $\log_2(\sin 2x) = \log_2(\sqrt{2} \cos x)$ выполним следующие шаги: 1. **ОДЗ (Область допустимых значений):** Аргументы логарифмов должны быть строго положительными: $\begin{cases} \sin 2x > 0 \\ \sqrt{2} \cos x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 2 \sin x \cos x > 0 \\ \cos x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin x > 0 \\ \cos x > 0 \end{cases}$ Это означает, что $x$ находится в I четверти: $x \in (2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k)$. 2. **Решение уравнения:** Так как основания логарифмов равны, приравниваем аргументы: $\sin 2x = \sqrt{2} \cos x$ $2 \sin x \cos x = \sqrt{2} \cos x$ $2 \sin x \cos x - \sqrt{2} \cos x = 0$ $\cos x (2 \sin x - \sqrt{2}) = 0$ - $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k$ (не удовлетворяет ОДЗ, так как $\cos x > 0$). - $2 \sin x - \sqrt{2} = 0 \implies \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \implies x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k$. Условие $\cos x > 0$ выполняется только для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$. 3. **Отбор корней на отрезке $[-\pi; \frac{\pi}{2}]$:** Проверим $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$: - При $k = 0$: $x = \frac{\pi}{4} \approx 0,785$. $\frac{\pi}{4} \in [-\pi; \frac{\pi}{2}]$, подходит. - При $k = -1$: $x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{7\pi}{4} \approx -5,5$ (вне отрезка). - При $k = 1$: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi$ (вне отрезка). **Ответ:** а) $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $\frac{\pi}{4}$