По данным рисунка найдите угол x (O — центр окружности).

### Задача 1 По условию, мы видим вписанный угол $x$ и два других угла $\alpha$ и $\beta$, опирающихся на дуги окружности. На рисунке изображен треугольник, вписанный в окружность, одна сторона которого является диаметром (проходит через центр $O$). 1. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. 2. Угол, опирающийся на диаметр, всегда равен $90^\circ$. В треугольнике, который образует диаметр и точка на окружности, один из углов прямой ($90^\circ$). 3. На рисунке $x$, $\alpha$ и еще один угол образуют треугольник. Однако, глядя на геометрию, $x + \alpha + \beta$ вписаны в полукруг или связаны с углами треугольника. Если рассматривать треугольник, где углы $x$, $\alpha$ и $\beta$ являются частями углов вписанного треугольника: Пусть $x$ — искомый угол. Угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. В треугольнике, вершины которого лежат на окружности, а одна сторона — диаметр, сумма углов $x + \beta + 90^\circ = 180^\circ$ (если $x$ и $\beta$ — острые углы прямоугольного треугольника). $x = 180^\circ - 90^\circ - 49^\circ = 41^\circ$. **Ответ: 41°** ### Задача 2 Вершины треугольника делят окружность в отношении $2:3:4$. 1. Вся окружность составляет $360^\circ$. 2. Сумма частей: $2 + 3 + 4 = 9$ частей. 3. Величина одной части: $360^\circ / 9 = 40^\circ$. 4. Дуги, на которые делят окружность точки $A$, $B$, $C$: $2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$, $3 \cdot 40^\circ = 120^\circ$, $4 \cdot 40^\circ = 160^\circ$. 5. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: - Угол 1: $80^\circ / 2 = 40^\circ$. - Угол 2: $120^\circ / 2 = 60^\circ$. - Угол 3: $160^\circ / 2 = 80^\circ$. Проверка: $40^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 180^\circ$. **Ответ: 40°, 60°, 80°** ### Задача 3 Расстояния от точки на окружности до концов диаметра — это катеты прямоугольного треугольника (так как угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$). 1. Пусть катеты $a = 9$ см, $b = 12$ см. 2. Гипотенуза этого треугольника является диаметром окружности ($d$): $d^2 = a^2 + b^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$. $d = \sqrt{225} = 15$ см. 3. Радиус окружности $R = d / 2 = 15 / 2 = 7,5$ см. **Ответ: 7,5 см**