К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, проведена касательная, пересекающая боковые стороны AB и BC в точках P и K соответственно. Найдите боковую сторону треугольника ABC, если периметр треугольника BPK равен 8 см и AC = 12 см.

Question

Вопрос:

К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник ABC, проведена касательная, пересекающая боковые стороны AB и BC в точках P и K соответственно. Найдите боковую сторону треугольника ABC, если периметр треугольника BPK равен 8 см и AC = 12 см.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть $AB = BC = x$. 1. Обозначим точки касания вписанной в треугольник $ABC$ окружности как $M$ на $AB$, $N$ на $BC$ и $H$ на $AC$. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем $AM = AH$ и $CN = CH$. 2. Так как $AC = 12$, то $AH + CH = 12$. Значит, $AM + CN = 12$. 3. Периметр треугольника $BPK$ равен $BP + PK + BK = 8$. 4. Касательная $PK$ касается окружности в некоторой точке $T$. По свойству касательных $PT = PM$ и $KT = KN$. 5. Тогда $PK = PT + TK = PM + KN$. 6. Периметр треугольника $BPK$ можно записать как: $P_{BPK} = BP + (PM + KN) + BK = BP + PM + KN + BK = (BP + PM) + (BK + KN) = BM + BN = 8$. 7. Поскольку $BM = BN$, получаем $2 imes BM = 8$, откуда $BM = 4$. 8. Так как $BM = AB - AM$ и $BN = BC - CN$, а $AB = BC = x$ и $AM + CN = 12$, то $BM = x - AM$ и $BN = x - CN$. 9. Сложим эти выражения: $BM + BN = (x - AM) + (x - CN) = 2x - (AM + CN) = 2x - 12$. 10. Мы знаем, что $BM + BN = 8$, значит $2x - 12 = 8$. 11. $2x = 20 ightarrow x = 10$. Ответ: 10 см.

Ответ ассистента

Другие решения