14. В треугольнике ABC угол ACB равен 47°, угол CAD равен 23°, AD — биссектриса. Найдите величину угла ABC.

Привет! Давай разберем эти задачи по порядку. ### Решение задачи 14 1. Дано: $AD$ — биссектриса угла $A$ в треугольнике $ABC$, следовательно, $\angle CAD = \angle BAD = 23^\circ$. Значит, весь угол $A$ (угол $BAC$) равен: $23^\circ + 23^\circ = 46^\circ$. 2. В треугольнике сумма углов равна $180^\circ$. Нам известны два угла треугольника $ABC$: $\angle C = 47^\circ$ и $\angle A = 46^\circ$. 3. Найдем угол $B$ (угол $ABC$): $\angle ABC = 180^\circ - (\angle A + \angle C) = 180^\circ - (46^\circ + 47^\circ) = 180^\circ - 93^\circ = 87^\circ$. **Ответ: 87** ### Решение задачи 15 1. Пусть внешний угол при вершине $B$ равен $180^\circ - \angle ABC$. Так как $\angle ABC = 32^\circ$, то внешний угол равен $180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$. 2. Биссектриса делит этот угол пополам. Каждый из полученных углов равен $148^\circ / 2 = 74^\circ$. 3. Биссектриса параллельна стороне $AC$. Рассмотрим секущую $AB$. Накрест лежащие углы при параллельных прямых равны. Значит, угол между биссектрисой и стороной $AB$ равен $\angle BAC$ (угол $A$ треугольника), но это не наш случай. Рассмотрим секущую $BC$. Угол между биссектрисой и прямой $BC$ равен $74^\circ$. Поскольку биссектриса параллельна $AC$, то и угол $C$ будет равен $74^\circ$ (соответственные углы при параллельных). 4. Теперь найдем $\angle CAB$ из суммы углов треугольника: $\angle CAB = 180^\circ - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^\circ - (32^\circ + 74^\circ) = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$. **Ответ: 74**