### Задача (15)
Так как $TK \parallel AC$, то треугольник $\triangle TBK$ подобен $\triangle ABC$. Коэффициент подобия $k = \frac{TK}{AC} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
$\frac{S_{TBK}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
$S_{ABC} = S_{TBK} \cdot 9 = 27 \cdot 9 = 243$.
**Ответ: 243**
### Задача (16)
Угол между секущими, пересекающимися вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними:
$\angle ACF = \frac{1}{2}(\text{дуга } AnF - \text{дуга } BmD) = \frac{1}{2}(92^{\circ} - 22^{\circ}) = \frac{1}{2}(70^{\circ}) = 35^{\circ}$.
**Ответ: 35^{\circ}**
### Задача (17)
В равнобедренной трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) углы при основании равны, то есть $\angle CAD = \angle BCA$. Поскольку $AC$ — биссектриса, то $\angle BAC = \angle CAD$. Следовательно, $\angle BCA = \angle BAC = 38^{\circ}$.
Так как $\angle BCA = \angle CAD$ (накрест лежащие при параллельных), имеем $\angle CAD = 38^{\circ}$.
В равнобедренной трапеции $\angle ACD = \angle CAD = 38^{\circ}$ (по свойству равнобедренной трапеции, $\angle ACD = \angle CAD$ не всегда верно, но здесь $AC=CD$ нет, однако в равнобедренной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$, $\angle CAD = \angle ACB$. В $\triangle ABC$ $\angle BAC = \angle BCA = 38^{\circ}$, значит $\angle CAD = 38^{\circ}$. $\angle ADC = \angle BCD$. В равнобедренной трапеции $\angle ADC = \angle DAB = 38^{\circ}+38^{\circ}=76^{\circ}$. $\angle ACD = 180^{\circ} - 76^{\circ} - 38^{\circ} = 66^{\circ}$? Нет, проще: $\triangle ACD$ - треугольник, $\angle CAD=38^{\circ}$. $\angle ADC = \angle BCD = 76^{\circ}$. $\angle ACD = 180^{\circ} - 76^{\circ} - 38^{\circ} = 66^{\circ}$.
Стоп, перепроверим: $\angle D = \angle A = 76^{\circ}$. $\angle CAD=38^{\circ}$. $\angle ACD = 180^{\circ} - 38^{\circ} - 76^{\circ} = 66^{\circ}$.
**Ответ: 66^{\circ}**
### Задача (18)
Считаем клетки:
Основание $AD = 6$ см.
Основание $BC = 2$ см.
Высота $h = 3$ см.
$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot h = \frac{6 + 2}{2} \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$ см$^2$.
**Ответ: 12**
### Задача (19)
1) Верно. Квадрат — это параллелограмм, у которого все углы прямые и все стороны равны.
2) Неверно. Это точка пересечения серединных перпендикуляров (описанной окружности). Центр вписанной — точка пересечения биссектрис.
3) Верно.
**Ответ: 1, 3**
### Задача (23)
Допущение: Восстановлено условие из контекста (вероятно, трапеция прямоугольная, так как сумма углов A и D 90, но они односторонние при основании. Если сумма 90, то это, скорее всего, $AB \perp AD$ и $AB \perp BC$ или ошибка в условии. Но если $\angle A + \angle D = 90^{\circ}$, это нестандартная трапеция).
*Решение*: Условие $\angle A + \angle D = 90^{\circ}$ для трапеции обычно означает, что это прямоугольная трапеция, где углы при боковой стороне в сумме $180^{\circ}$. Если $\angle A + \angle D = 90^{\circ}$, то средняя линия не параллельна. Вероятно, опечатка и имеется в виду $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$? Примем, что $AB=12$ (высота), $CD=5$. Если $\angle A + \angle D = 90^{\circ}$, невозможно найти площадь.
*Предположение*: Если $\angle A + \angle D = 180^{\circ}$ и трапеция прямоугольная, $AB$ - высота. $BC=0.5AD$. $(AD-BC)=x$. $CD^2 = AB^2 + x^2 \Rightarrow 5^2 = 12^2 + x^2$ - невозможно.
*Вывод*: В условии задачи (23) содержится противоречие или опечатка в значениях, решить корректно невозможно.
