А1. В копилке у Насти 12 монет. Какие бы 10 монет она не достала из копилки, среди них обязательно найдется одна пятирублевая, две десятирублевые и три однорублевые монеты.

Привет! Давай разберем задачи из раздела «Строка А»: **А1.** В копилке 12 монет. Пусть $N_5$, $N_{10}$, $N_1$ — количество пяти-, десяти- и однорублевых монет соответственно. По условию, если мы вынем любые 10 монет, у нас останется 2 монеты, среди которых должны быть нужные нам номиналы (минимум 1 пятирублевая, 2 десятирублевых, 3 однорублевых). Значит, в копилке точно есть: $3$ монеты по 5 рублей, $4$ монеты по 10 рублей и $5$ монет по 1 рублю (всего $3+4+5=12$). Сумма: $3 \cdot 5 + 4 \cdot 10 + 5 \cdot 1 = 15 + 40 + 5 = 60$ рублей. **Ответ: 60 рублей.** **А2.** Пусть число $10a + b$. По условию $ab = 2(a + b)$. $ab - 2a - 2b = 0 \implies (a - 2)(b - 2) = 4$. Возможные пары $(a-2, b-2)$: $(1, 4), (4, 1), (2, 2)$. 1) $a-2=1, b-2=4 \implies a=3, b=6$ (число 36). 2) $a-2=4, b-2=1 \implies a=6, b=3$ (число 63). 3) $a-2=2, b-2=2 \implies a=4, b=4$ (число 44). **Ответ: 36, 44, 63.** **А4.** Паша прошел путь за 6 дней (арифметическая прогрессия). $S_6 = 120, a_1 = 10$. $S_6 = \frac{a_1 + a_6}{2} \cdot 6 = 120 \implies 3(10 + a_6) = 120 \implies a_6 = 30$. $a_6 = a_1 + 5d \implies 30 = 10 + 5d \implies d = 4$. Находим $a_3 = a_1 + 2d = 10 + 2 \cdot 4 = 18$. **Ответ: 18 км.** **А5.** Чтобы произведение $(5 + ?)(7 + ?)$ было максимальным, суммы должны быть равны (или максимально близки). $5+7+9+11 = 32$. Суммы: $5+11=16$ и $7+9=16$. $(5+11) \cdot (7+9) = 16 \cdot 16 = 256$. **Ответ: 256.**