Хорда AC окружности стягивает дугу, равную 60°. Хорда AB проходит через центр окружности. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 8√3.

Question

Вопрос:

Хорда AC окружности стягивает дугу, равную 60°. Хорда AB проходит через центр окружности. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 8√3.

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

Пусть $R$ — радиус окружности. 1. Так как хорда $AB$ проходит через центр окружности, она является диаметром. Значит, $AB = 2R$. 2. Угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный, где $\angle ACB = 90^\circ$. 3. Дуга $AC$ равна $60^\circ$. Вписанный угол $\angle ABC$, опирающийся на эту дугу, равен половине градусной меры дуги: $\angle ABC = 60^\circ / 2 = 30^\circ$. 4. В прямоугольном треугольнике $ABC$: - $AC = AB \cdot \sin(30^\circ) = 2R \cdot 0,5 = R$. - $BC = AB \cdot \cos(30^\circ) = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$. 5. Площадь треугольника $ABC$ равна: $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R\sqrt{3} = \frac{R^2\sqrt{3}}{2}$. 6. По условию $S = 8\sqrt{3}$, приравняем выражения: $\frac{R^2\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3}$ $R^2 = 16$ $R = 4$. **Ответ: 4** *Рисунок:* Представь окружность с центром $O$. Проведи диаметр $AB$. Отметь точку $C$ на окружности так, чтобы $\angle ABC = 30^\circ$. Соедини точки $A, B$ и $C$. Получится прямоугольный треугольник $ABC$, где $AB$ — гипотенуза.

Хорда AC окружности стягивает дугу, равную 60°. Хорда AB проходит через центр окружности. Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 8√3.

Ответ ассистента

Другие решения