Постройте график функции y = x^2 - |6x + 7|. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно три общие точки.

Для построения графика функции $y = x^2 - |6x + 7|$ раскроем модуль. Выражение внутри модуля $6x + 7 = 0$ при $x = -\frac{7}{6}$. 1. Если $x \ge -\frac{7}{6}$, то $|6x + 7| = 6x + 7$. Функция принимает вид: $y = x^2 - 6x - 7$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина в точке $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2} = 3$. Значение в вершине $y(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 - 7 = 9 - 18 - 7 = -16$. Точка пересечения с осью $Ox$: $x^2 - 6x - 7 = 0 \Rightarrow (x-7)(x+1) = 0$. Корни: $x = 7$ и $x = -1$. Подходит $x = -1$ (т.к. $-1 \ge -7/6$) и $x = 7$. 2. Если $x < -\frac{7}{6}$, то $|6x + 7| = -(6x + 7) = -6x - 7$. Функция принимает вид: $y = x^2 + 6x + 7$. Это парабола с вершиной в $x_0 = -\frac{6}{2} = -3$. Значение в вершине $y(-3) = (-3)^2 + 6(-3) + 7 = 9 - 18 + 7 = -2$. График состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $x = -\frac{7}{6}$, $y = -\frac{7}{6}^2 - 6(-\frac{7}{6}) - 7 = -\frac{49}{36} + 7 - 7 = -\frac{49}{36} \approx -1,36$. График имеет две "вершины" (минимумы) в $y = -16$ (при $x=3$) и в $y = -2$ (при $x=-3$), и "излом" в точке $(-7/6; -49/36)$. Прямая $y=m$ пересекает график в трех точках, когда она проходит через один из локальных минимумов. В данном случае это точки $m = -16$ и $m = -2$. :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ: -16; -2.**