Билет №8. 1. Определение окружности, центра, радиуса, хорды и диаметра. 2. Сформулировать и доказать теорему вертикальных углов . 3. Задача на тему «Признаки параллельности двух прямых». Отрезки AB и CD пересекаются в их общей середине. Доказать, что прямые AC и BD параллельны.

### 1. Определения: - **Окружность** — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). - **Центр** — точка, равноудаленная от всех точек окружности. - **Радиус** — отрезок, соединяющий центр с любой точкой на окружности. - **Хорда** — отрезок, соединяющий две любые точки на окружности. - **Диаметр** — хорда, проходящая через центр окружности. ### 2. Теорема о вертикальных углах: - **Формулировка:** Вертикальные углы равны. - **Доказательство:** Пусть даны две пересекающиеся прямые. Они образуют две пары вертикальных углов. Сумма смежных углов равна $180^{\circ}$. Если $\alpha$ и $\beta$ — смежные углы, то $\alpha + \beta = 180^{\circ}$. Второй угол $\gamma$ также смежен с $\alpha$, значит $\alpha + \gamma = 180^{\circ}$. Следовательно, $\beta = 180^{\circ} - \alpha$ и $\gamma = 180^{\circ} - \alpha$, значит $\beta = \gamma$. ### 3. Задача: **Дано:** Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, $AO=OB$, $CO=OD$. **Доказать:** $AC \parallel BD$. **Доказательство:** 1. Рассмотрим $\triangle ACO$ и $\triangle BDO$: - $AO = OB$ (по условию). - $CO = OD$ (по условию). - $\angle AOC = \angle BOD$ (как вертикальные). 2. Следовательно, $\triangle ACO = \triangle BDO$ по первому признаку (по двум сторонам и углу между ними). 3. Из равенства треугольников следует, что $\angle CAO = \angle DBO$. 4. Эти углы являются накрест лежащими при прямых $AC$ и $BD$ и секущей $AB$. Так как они равны, то по признаку параллельности прямых: $AC \parallel BD$. **Ответ:** Доказано.