Постройте график функции $y = \frac{1,5|x| - 1}{|x| - 1,5x^2}$. Определите, при каких значениях $k$ прямая $y = kx$ не имеет с графиком общих точек.

Для начала упростим выражение функции $y = \frac{1,5|x| - 1}{|x| - 1,5x^2}$. 1. Область допустимых значений (ОДЗ): Знаменатель не может быть равен нулю: $|x| - 1,5x^2 \neq 0$ $|x|(1 - 1,5|x|) \neq 0$ Отсюда: $|x| \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ $|x| \neq \frac{1}{1,5} = \frac{2}{3} \Rightarrow x \neq \pm \frac{2}{3}$ 2. Упростим выражение: Заметим, что $|x|^2 = x^2$. Тогда выражение можно переписать: $y = \frac{1,5|x| - 1}{|x| - 1,5|x|^2} = \frac{1,5|x| - 1}{|x|(1 - 1,5|x|)} = \frac{-(1 - 1,5|x|)}{|x|(1 - 1,5|x|)}$ При условии, что $1 - 1,5|x| \neq 0$, сокращаем дробь: $y = -\frac{1}{|x|}$ 3. Анализ графика: Функция $y = -\frac{1}{|x|}$ определена при $x \neq 0$ и $x \neq \pm \frac{2}{3}$. - При $x > 0$: $y = -\frac{1}{x}$. График — гипербола в четвертой четверти. - При $x < 0$: $y = -\frac{1}{|x|} = -\frac{1}{-x} = \frac{1}{x}$. График — гипербола в первой четверти. - «Выколотые» точки: Так как $x = \pm \frac{2}{3}$, то $y = -\frac{1}{|\pm 2/3|} = -\frac{1}{2/3} = -1,5$. Значит, точки $(\frac{2}{3}; -1,5)$ и $(-\frac{2}{3}; -1,5)$ выколоты. 4. Прямая $y = kx$: Это прямая, проходящая через начало координат. Она не имеет общих точек с графиком, если: - Прямая совпадает с асимптотами (но здесь их нет, кроме осей, которые не пересекаются). - Прямая проходит через «выколотые» точки: Подставим точку $(\frac{2}{3}; -1,5)$ в $y = kx$: $-1,5 = k \cdot \frac{2}{3} \Rightarrow -\frac{3}{2} = k \cdot \frac{2}{3} \Rightarrow k = -\frac{9}{4} = -2,25$. Подставим точку $(-\frac{2}{3}; -1,5)$ в $y = kx$: $-1,5 = k \cdot (-\frac{2}{3}) \Rightarrow k = 2,25$. - Прямая совпадает с осью $Ox$ ($k=0$), так как гиперболы приближаются к ней, но не пересекают. :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ:** $k \in \{-2,25; 0; 2,25\}$.