Известно, что в четырёхугольник вписана окружность, а длины трёх из сторон данного четырёхугольника равны 44, 49, 53. Какое наибольшее значение может иметь периметр этого четырёхугольника?

### Решение Задания №4 Если в четырехугольник вписана окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны: $a + c = b + d$, где $a, b, c, d$ — стороны четырехугольника. Периметр $P = a + b + c + d = 2(a + c) = 2(b + d)$. Пусть известные стороны равны 44, 49 и 53. Четвертая сторона пусть будет $x$. Возможны три случая, какую из известных сторон мы «парно» складываем с неизвестной $x$, чтобы получить пары равных сумм: 1. Пары: $(44+49)$ и $(53+x) \Rightarrow 93 = 53+x \Rightarrow x = 40$. Периметр $P = 2 \cdot 93 = 186$. 2. Пары: $(44+53)$ и $(49+x) \Rightarrow 97 = 49+x \Rightarrow x = 48$. Периметр $P = 2 \cdot 97 = 194$. 3. Пары: $(49+53)$ и $(44+x) \Rightarrow 102 = 44+x \Rightarrow x = 58$. Периметр $P = 2 \cdot 102 = 204$. Наибольшее значение периметра равно 204. **Ответ: 204** --- ### Решение Задания №5 Трапеция вписана в окружность радиуса $R=25$. Основания трапеции $a=14$ и $b=48$. Центр окружности лежит внутри трапеции. Пусть $O$ — центр окружности. Опустим перпендикуляры (высоты) из центра $O$ на основания. Расстояние от центра до основания $a$ (меньшего): $h_1 = \sqrt{R^2 - (a/2)^2} = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24$. Расстояние от центра до основания $b$ (большего): $h_2 = \sqrt{R^2 - (b/2)^2} = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7$. Так как центр лежит внутри трапеции, высота трапеции $h = h_1 + h_2 = 24 + 7 = 31$. **Ответ: 31**