В четырёхугольнике ABCD, вписанном в окружность, найдите угол D, если известно, что ∠A : ∠B : ∠C = 3 : 8 : 9.

### Задание №1 Вписанный в окружность четырёхугольник обладает свойством: сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Значит, $\angle A + \angle C = 180^\circ$ и $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Пусть $\angle A = 3x$, $\angle B = 8x$, $\angle C = 9x$. Тогда из условия $\angle A + \angle C = 180^\circ$ получаем: $3x + 9x = 180^\circ \implies 12x = 180^\circ \implies x = 15^\circ$. Теперь найдем $\angle B$: $\angle B = 8 \cdot 15^\circ = 120^\circ$. Следовательно, $\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. **Ответ: 60** ### Задание №2 Свойство описанного четырёхугольника: суммы длин противоположных сторон равны. Для трапеции с боковыми сторонами $a$ и $b$ и основаниями $c$ и $d$, где $a=b=11$ (так как трапеция равнобедренная), суммы оснований равны сумме боковых сторон: $c + d = a + b = 11 + 11 = 22$. Периметр $P = a + b + c + d = 11 + 11 + 22 = 44$. **Ответ: 44** ### Задание №3 Площадь описанного многоугольника вычисляется по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр, а $r$ — радиус вписанной окружности ($r=4$). Сумма противоположных сторон $a + c = 20$. Поскольку четырёхугольник описанный, сумма другой пары сторон $b + d = a + c = 20$. Периметр $P = (a + c) + (b + d) = 20 + 20 = 40$. Полупериметр $p = 40 / 2 = 20$. Площадь $S = 20 \cdot 4 = 80$. **Ответ: 80** ### Задание №4 Пусть стороны четырёхугольника равны $a, b, c, d$. Так как в него вписана окружность, суммы противоположных сторон равны: $a + c = b + d$. Периметр $P = 2(a+c)$. Известны три стороны: пусть $a=44, b=44, c=44$. Тогда $a+c = 88$. Так как $a+c = b+d$, то $88 = 44 + d$, откуда $d = 44$. Периметр $P = 88 + 88 = 176$. Если же одна из известных сторон не входит в сумму, то варианты другие, но задача требует наибольшее значение. Если стороны 44, 44, 44, $x$, то сумма противоположных пар может быть $(44+44)$ и $(44+x)$, тогда $88 = 44+x \implies x=44$. Если пары $(44+x)$ и $(44+44)$, то $x=44$. Наибольший периметр получается, когда все четыре стороны равны 44. **Ответ: 176**