Даны два прямоугольных треугольника ABC, ADC, AC - биссектриса, BAC = 25°. Доказать: ABC = ADC.

Привет! Давай разберем задачи по геометрии. ### Задача 1 **Доказательство:** 1. В $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ сторона $AC$ — общая. 2. Так как $AC$ — биссектриса, то $\angle BAC = \angle DAC = 25^\circ$. 3. Углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ прямые ($90^\circ$). 4. Значит, треугольники равны по гипотенузе и острому углу (или по катету и острому углу, если рассматривать их как прямоугольные). **Нахождение $\angle BCD$:** В $\triangle ABC$: $\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$. Так как $\triangle ABC = \triangle ADC$, то $\angle DCA = \angle BCA = 65^\circ$. Тогда $\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 65^\circ + 65^\circ = 130^\circ$. **Ответ: 130^\circ.** ### Задача 2 **Доказательство:** 1. $BD$ — высота, значит $\angle ADB = \angle CDB = 90^\circ$. 2. Стороны $AD = DC$ по условию (отмечены равными). 3. $BD$ — общая сторона. 4. Значит, $\triangle ABD = \triangle DBC$ по двум катетам. **Нахождение $BD$:** В $\triangle ABD$: $\angle A = 30^\circ$, $\angle ADB = 90^\circ$. Катет, лежащий против угла $30^\circ$, равен половине гипотенузы: $BD = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$ см. **Ответ: 8 см.** ### Задача 3 **Доказательство:** 1. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. 2. Так как $BO$ — биссектриса угла при вершине $B$, то $\triangle ABO = \triangle OBC$ по двум сторонам и углу между ними ($AB=BC$ как стороны равнобедренного $\triangle$, $BO$ — общая, $\angle ABO = \angle CBO$). **Нахождение $AB$:** $\triangle ABO$ прямоугольный (так как $BO$ — высота), $\angle A = 60^\circ$, следовательно $\angle ABO = 30^\circ$. Катет $AO = 18$ см лежит против угла $30^\circ$, значит гипотенуза $AB = 2 \cdot AO = 2 \cdot 18 = 36$ см. **Ответ: 36 см.** ### Задача 4 В $\triangle ABC$ $\angle C = 90^\circ$. Внешний угол при вершине $B$ равен $120^\circ$. Значит, внутренний $\angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Тогда $\angle A = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Катет $BC$ лежит против угла $30^\circ$ ($A$), значит $BC = \frac{1}{2} AB$ (гипотенуза). $AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 10 = 20$ см. **Ответ: 20 см.** ### Задача 5 Пусть $x$ — меньший катет, тогда гипотенуза $c = 2x$ (так как лежит против угла $30^\circ$). По условию сумма гипотенузы и меньшего катета равна $48$ см: $2x + x = 48$ $3x = 48$ $x = 16$ см (меньший катет). Гипотенуза $c = 2x = 2 \cdot 16 = 32$ см. **Ответ: 32 см.**