12.В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что HC=12 см и BC=BM. Найдите AH.

### Решение задач #### Задача 12 1. Пусть $AC$ — основание треугольника $ABC$, а $M$ — середина $AC$ ($AM=MC$). 2. Так как $BH \perp AC$, треугольники $\triangle BHC$ и $\triangle BHM$ являются прямоугольными. 3. По теореме Пифагора: $BC^2 = BH^2 + HC^2$ $BM^2 = BH^2 + HM^2$ 4. По условию $BC=BM$, значит, $BC^2 = BM^2$, следовательно $BH^2 + HC^2 = BH^2 + HM^2$, откуда $HC^2 = HM^2$ и $HC=HM=12$ см. 5. Так как $M$ — середина $AC$, то $AM=MC$. Обозначим $MC=x$. Тогда $AM=x$. 6. Так как $H$ лежит на $AC$, $HC=12$ и $HM=12$, точка $H$ находится между $M$ и $C$. Значит, $MC = MH + HC = 12 + 12 = 24$ см. 7. Тогда $AM = 24$ см. 8. $AH = AM + MH = 24 + 12 = 36$ см. **Ответ: 36 см.** #### Задача 13 Пусть углы треугольника равны $\alpha, \alpha, \beta$ (так как треугольник равнобедренный). 1. Возможны два случая отношения углов: - Случай 1: $\alpha : \beta = 2 : 5$. Тогда $\alpha = 2k, \beta = 5k$. Сумма углов $2\alpha + \beta = 180^\circ \Rightarrow 4k + 5k = 180^\circ \Rightarrow 9k = 180^\circ \Rightarrow k = 20^\circ$. Углы: $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$. Треугольник тупоугольный, так как $100^\circ > 90^\circ$. Это подходит. - Случай 2: $\beta : \alpha = 2 : 5$. Тогда $\beta = 2k, \alpha = 5k$. Сумма углов $10k + 2k = 180^\circ \Rightarrow 12k = 180^\circ \Rightarrow k = 15^\circ$. Углы: $75^\circ, 75^\circ, 30^\circ$. Треугольник остроугольный. Это не подходит. **Ответ: $40^\circ, 40^\circ, 100^\circ$.** #### Задача 14 Внешние углы прямоугольного треугольника равны $90^\circ$, $180^\circ - \alpha$, $90^\circ + \alpha$ (где $\alpha$ — острый угол). 1. Наименьший внешний угол всегда $90^\circ$. 2. Отношение наибольшего к наименьшему равно $8:5$, значит наибольший внешний угол равен $90^\circ \cdot \frac{8}{5} = 144^\circ$. 3. Если $180^\circ - \alpha = 144^\circ$, то $\alpha = 36^\circ$. 4. Если $90^\circ + \alpha = 144^\circ$, то $\alpha = 54^\circ$. 5. В обоих случаях острые углы треугольника: $36^\circ$ и $54^\circ$. 6. Меньший острый угол — $36^\circ$. **Ответ: $36^\circ$.**