1) Дайте определение окружности, описанной около многоугольника, многоугольника, вписанного в окружность. Сформулируйте свойство четырехугольника, вписанного в окружность.

### 1) Определение окружности и вписанного многоугольника * **Окружность, описанная около многоугольника:** это такая окружность, на которой лежат все вершины данного многоугольника. * **Многоугольник, вписанный в окружность:** это многоугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. * **Свойство вписанного четырехугольника:** сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна $180^{\circ}$. ### 2) Свойство биссектрисы угла **Свойство:** Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон этого угла. **Доказательство:** 1. Пусть $AD$ — биссектриса угла $A$, точка $M$ лежит на $AD$. 2. Опустим перпендикуляры $MH$ на $AB$ и $MK$ на $AC$. Нужно доказать, что $MH = MK$. 3. Рассмотрим $\triangle AMH$ и $\triangle AMK$: * $AM$ — общая сторона (гипотенуза). * $\angle HAM = \angle KAM$ (так как $AD$ — биссектриса). * $\angle AHM = \angle AKM = 90^{\circ}$. 4. Значит, $\triangle AMH = \triangle AMK$ по гипотенузе и острому углу. Следовательно, $MH = MK$, что и требовалось доказать. ### 3) Площадь прямоугольного треугольника 1. В треугольнике один угол $90^{\circ}$, другой $45^{\circ}$, значит третий равен $180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$. 2. Треугольник равнобедренный, оба катета равны $10$. 3. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 10 = 50$. **Ответ: 50.** ### 4) Площадь параллелограмма 1. Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $A$, значит расстояние от $K$ до стороны $AD$ равно расстоянию до $AB$, то есть $7$. 2. Точка $K$ лежит на биссектрисе угла $B$, значит расстояние от $K$ до стороны $BC$ равно расстоянию до $AB$, то есть $7$. 3. Высота параллелограмма $h$, опущенная на сторону $AD$, равна сумме расстояний от точки $K$ до сторон $AD$ и $BC$: $h = 7 + 7 = 14$. 4. Площадь параллелограмма $S = AD \cdot h = 19 \cdot 14 = 266$. **Ответ: 266.**