Каждое ребро правильного тетраэдра «а». Найти объём и поверхность вписанного конуса. (Ответ: a = 6)

1. Теорема об объёме цилиндра: объём цилиндра равен произведению площади его основания на высоту. Формула: $V = S_{осн} \cdot h = \pi r^2 h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, $h$ — высота цилиндра, $r$ — радиус основания. 2. Дано: правильный тетраэдр с ребром $a = 6$. Конус вписан в него (основание конуса вписано в грань тетраэдра, вершина конуса совпадает с вершиной тетраэдра). Шаги решения: - Высота правильного тетраэдра $H = a \sqrt{\frac{2}{3}} = 6 \sqrt{\frac{2}{3}} = 6 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}$. - Радиус $r$ окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a=6$: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$. - Образующая конуса $l$ — это высота грани тетраэдра (апофема), так как конус касается боковых граней. Высота равностороннего треугольника $h_{гр} = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. Значит, $l = 3\sqrt{3}$. - Объём конуса: $V = \frac{1}{3} \pi r^2 H = \frac{1}{3} \pi (\sqrt{3})^2 (2\sqrt{6}) = \frac{1}{3} \pi \cdot 3 \cdot 2\sqrt{6} = 2\pi\sqrt{6}$. - Площадь полной поверхности конуса: $S = S_{осн} + S_{бок} = \pi r^2 + \pi r l = \pi (\sqrt{3})^2 + \pi (\sqrt{3})(3\sqrt{3}) = 3\pi + 9\pi = 12\pi$. **Ответ:** Объём $V = 2\pi\sqrt{6}$, поверхность $S = 12\pi$. 3. Теорема об объёме конуса: объём конуса равен одной трети произведения площади его основания на высоту. Формула: $V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \pi r^2 h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, $h$ — высота конуса.