1. log_{1/3} (4x+12) <= -1

Привет! Давай разберем эти логарифмические неравенства по порядку. Помни про область допустимых значений (ОДЗ) для каждого выражения. **1. $\log_{1/3}(4x + 12) \le -1$** * ОДЗ: $4x + 12 > 0 \Rightarrow x > -3$. * Так как основание $1/3 < 1$, при потенцировании знак неравенства меняется на противоположный: $4x + 12 \ge (1/3)^{-1}$ $4x + 12 \ge 3$ $4x \ge -9$ $x \ge -2,25$. * С учетом ОДЗ: $x \in [-2,25; +\infty)$. **2. $\log_{5}(2x - 10) > 1$** * ОДЗ: $2x - 10 > 0 \Rightarrow x > 5$. * Основание $5 > 1$, знак сохраняем: $2x - 10 > 5^1$ $2x > 15$ $x > 7,5$. * С учетом ОДЗ: $x \in (7,5; +\infty)$. **3. $\log_{1/4}(6x - 18) \ge \log_{1/4}(5x + 10)$** * ОДЗ: $\begin{cases} 6x - 18 > 0 \Rightarrow x > 3 \\ 5x + 10 > 0 \Rightarrow x > -2 \end{cases} \Rightarrow x > 3$. * Основание $1/4 < 1$, меняем знак: $6x - 18 \le 5x + 10$ $x \le 28$. * С учетом ОДЗ: $x \in (3; 28]$. **4. $\log_{2}x + \log_{2}(x + 1) \ge \log_{2}(3x + 3)$** * ОДЗ: $x > 0$ и $x + 1 > 0$ и $3x + 3 > 0 \Rightarrow x > 0$. * Применяем свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$: $\log_{2}(x(x + 1)) \ge \log_{2}(3(x + 1))$ $x^2 + x \ge 3x + 3$ $x^2 - 2x - 3 \ge 0$. * Корни $x^2 - 2x - 3 = 0$ это $3$ и $-1$. Решение неравенства: $x \in (-\infty; -1] \cup [3; +\infty)$. * С учетом ОДЗ ($x > 0$): $x \in [3; +\infty)$. **5. $\log_{0,2} \frac{4x - 5}{2x + 1} > 1$** * ОДЗ: $\frac{4x - 5}{2x + 1} > 0$. Корни $1,25$ и $-0,5$. Интервалы: $(-\infty; -0,5) \cup (1,25; +\infty)$. * Основание $0,2 < 1$, меняем знак: $\frac{4x - 5}{2x + 1} < 0,2^1 = 0,2 = \frac{1}{5}$ $\frac{4x - 5}{2x + 1} - \frac{1}{5} < 0$ $\frac{20x - 25 - 2x - 1}{5(2x + 1)} < 0 \Rightarrow \frac{18x - 26}{5(2x + 1)} < 0$. * Метод интервалов: корни $x = \frac{26}{18} = \frac{13}{9} \approx 1,44$ и $x = -0,5$. Решение: $x \in (-0,5; \frac{13}{9})$. * Пересечение с ОДЗ: $x \in (1,25; \frac{13}{9})$.