К стороне BD треугольника ABD с прямым углом BAD проведён перпендикуляр CE.

### Решение Задания №3 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABD$ (угол $A=90^\circ$). По теореме Пифагора: $BD^2 = AB^2 + AD^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$, значит $BD = \sqrt{169} = 13$. Это совпадает с условием. 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CED$ (угол $CED=90^\circ$, так как $CE \perp BD$). $CD^2 = CE^2 + DE^2 = 5^2 + 1^2 = 25 + 1 = 26$, следовательно $CD = \sqrt{26}$. 3. Мы знаем $BD = 13$ и $DE = 1$. Отрезок $BE = BD - DE = 13 - 1 = 12$. 4. Теперь рассмотрим треугольник $BEC$ (угол $BEC=90^\circ$). По теореме Пифагора: $BC^2 = BE^2 + CE^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$. $BC = \sqrt{169} = 13$. **Ответ: 13.** ### Решение Задания №4 1. Периметр треугольника $ABC = 42$ см. Так как треугольник равнобедренный ($AC = BC$), а $CH$ — высота, проведенная к основанию $AB$, то $CH$ также является медианой. 2. Пусть $AC = BC = x$. Тогда $AB = 42 - 2x$. Так как $CH$ — медиана, то $AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{42 - 2x}{2} = 21 - x$. 3. В прямоугольном треугольнике $ACH$ (угол $AHC = 90^\circ$): $AC^2 = AH^2 + CH^2$ $x^2 = (21 - x)^2 + 15^2$ $x^2 = 441 - 42x + x^2 + 225$ $42x = 666$ $x = \frac{666}{42} = \frac{111}{7} \approx 15.86$ (попробуем проверить целые значения, возможно, $AB$ или $AC$ другие). Пересчитаем: $42x = 666$, делим на 6: $7x = 111$. Стоп, возможно, я неверно понял периметр. Если $AC+BC+AB = 42$, то $2x + AB = 42$. Все верно. $AH = 21 - x$. $AC^2 = AH^2 + CH^2 \Rightarrow x^2 = (21-x)^2 + 225$ $x^2 = 441 - 42x + x^2 + 225$ $42x = 666 \Rightarrow x = 15.857...$ Найдем периметр $ACH = AC + AH + CH = x + (21 - x) + 15 = 21 + 15 = 36$. **Ответ: 36.**