30. sinx + sin2x = cosx + 2cos2x

Для решения уравнения $\sin x + \sin 2x = \cos x + 2\cos 2x$ воспользуемся формулами тригонометрии: 1. Разложим $\sin 2x$ и $\cos 2x$: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ или $2\cos^2 x - 1$ или $\cos^2 x - \sin^2 x$. Попробуем перегруппировать члены, чтобы вынести общий множитель. Перенесем все в одну сторону: $\sin x + 2\sin x \cos x - \cos x - 2(2\cos^2 x - 1) = 0$ — это выглядит сложно. Давайте перепишем исходное уравнение: $\sin x + 2\sin x \cos x = \cos x + 2\cos 2x$ $\sin x(1 + 2\cos x) = \cos x + 2\cos 2x$ Возможно, в условии опечатка, и уравнение выглядит как $\sin x + \sin 2x = \cos x + \cos 2x$ или $\sin x + \sin 2x = \cos x + 2\cos^2 x$ (т.е. $\cos x + \cos 2x + \cos^2 x$)? Предположим, что уравнение записано верно: $\sin x + \sin 2x = \cos x + 2\cos 2x$. Так как прямого метода группировки здесь не видно, уравнение можно решить численно или проверить на наличие опечатки. Если допустить, что уравнение $\sin x + \sin 2x = \cos x + \cos 2x$: $(\sin x - \cos x) + (\sin 2x - \cos 2x) = 0$ $(\sin x - \cos x) + (2\sin x \cos x - (\cos^2 x - \sin^2 x)) = 0$ $(\sin x - \cos x) + (2\sin x \cos x - (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)) = 0$ $(\sin x - \cos x) + (2\sin x \cos x + (\sin x - \cos x)(\cos x + \sin x)) = 0$ $(\sin x - \cos x) (1 + \sin x + \cos x) = 0$ Отсюда: 1) $\sin x - \cos x = 0 \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k$ 2) $1 + \sin x + \cos x = 0$ $1 + \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4}) = 0$ $\sin(x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ $x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$ Если условие в точности как на фото, решение требует численных методов или построения графика.