Раздел 4. Начало математического анализа. Тема 4.6. Первообразная. Нахождение неопределенного интеграла. Найдите неопределенный интеграл

Привет! Давай решим эти интегралы. Везде будем добавлять константу $C$, так как это неопределенные интегралы. 1. $\int (x^4 + \frac{1}{\sin^2 x}) dx = \frac{x^5}{5} - \text{ctg } x + C$ 2. $\int 8^x dx = \frac{8^x}{\ln 8} + C$ 3. $\int (6^x + \frac{1}{x}) dx = \frac{6^x}{\ln 6} + \ln|x| + C$ 4. $\int \sin 6x dx = -\frac{\cos 6x}{6} + C$ 5. $\int (7 - 2x)^3 dx = -\frac{(7 - 2x)^4}{8} + C$ 6. $\int \sqrt{2x - 1} dx = \int (2x - 1)^{1/2} dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2x - 1)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{3}(2x - 1)\sqrt{2x - 1} + C$ 7. $\int (x^2 + 3)^5 x dx$. Пусть $t = x^2 + 3$, тогда $dt = 2x dx$, $x dx = \frac{dt}{2}$. $\int \frac{t^5}{2} dt = \frac{t^6}{12} + C = \frac{(x^2 + 3)^6}{12} + C$ 8. $\int \frac{e^{3x} dx}{e^{3x} + 1} = \frac{1}{3} \ln(e^{3x} + 1) + C$ 9. $\int 9^{2x} dx = \int (9^2)^x dx = \int 81^x dx = \frac{81^x}{\ln 81} + C$ 10. $\int \sqrt{2\sin x - 1} \cos x dx$. Пусть $t = 2\sin x - 1$, $dt = 2\cos x dx$, $\cos x dx = \frac{dt}{2}$. $\int \sqrt{t} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{3}(2\sin x - 1)\sqrt{2\sin x - 1} + C$ 11. $\int (2x^2 - 1)^2 dx = \int (4x^4 - 4x^2 + 1) dx = \frac{4x^5}{5} - \frac{4x^3}{3} + x + C$ 12. $\int (3^x - e^x - 1) dx = \frac{3^x}{\ln 3} - e^x - x + C$ 13. $\int (3x^{-4} + 8x^5) dx = 3 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + 8 \cdot \frac{x^6}{6} + C = -\frac{1}{x^3} + \frac{4x^6}{3} + C$ 14. $\int \frac{2 dx}{\sqrt{1 - x^2}} = 2 \arcsin x + C$ 15. $\int \frac{dx}{(4 - 3x)^2} = \int (4 - 3x)^{-2} dx = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(4 - 3x)^{-1}}{-1} + C = \frac{1}{3(4 - 3x)} + C$ 16. $\int \sqrt[3]{(4 - 3t)^2} dt = \int (4 - 3t)^{2/3} dt = -\frac{1}{3} \cdot \frac{(4 - 3t)^{5/3}}{5/3} + C = -\frac{1}{5} \sqrt[3]{(4 - 3t)^5} + C$ 17. $\int \sqrt{e^x + 1} e^x dx$. Пусть $t = e^x + 1$, $dt = e^x dx$. $\int \sqrt{t} dt = \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{2}{3} (e^x + 1)\sqrt{e^x + 1} + C$ 18. $\int e^{3x} dx = \frac{e^{3x}}{3} + C$ 19. $\int \sin 7x dx = -\frac{\cos 7x}{7} + C$ 20. $\int \frac{dz}{(5z + 1)^3} = \int (5z + 1)^{-3} dz = \frac{1}{5} \cdot \frac{(5z + 1)^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{10(5z + 1)^2} + C$