Периметр осевого сечения цилиндра 6 дм. При каком радиусе основания цилиндра площадь его боковой поверхности будет наибольшей?

Давай разберем задачу С2, так как это интересная задача на оптимизацию. **Задача С2** Пусть $r$ — радиус основания цилиндра, $h$ — высота цилиндра. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами $2r$ и $h$. Периметр этого сечения равен $P = 2(2r + h) = 4r + 2h = 6$ дм. Отсюда выразим высоту через радиус: $2h = 6 - 4r \Rightarrow h = 3 - 2r$. Так как $h > 0$, то $3 - 2r > 0$, следовательно, $r < 1,5$. Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле: $S_{бок} = 2\pi rh$. Подставим выражение для $h$: $S(r) = 2\pi r(3 - 2r) = 6\pi r - 4\pi r^2$. Это квадратичная функция вида $f(r) = -4\pi r^2 + 6\pi r$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Максимум достигается в вершине параболы: $r_{верш} = -\frac{b}{2a} = -\frac{6\pi}{2(-4\pi)} = \frac{6\pi}{8\pi} = 0,75$. Значение $r = 0,75$ дм удовлетворяет условию $r < 1,5$. **Ответ:** Радиус основания цилиндра должен быть равен 0,75 дм.