Докажите, что осевое сечение цилиндра является прямоугольником, две противоположные стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра.

Здравствуйте! Я помогу тебе разобраться с задачами по геометрии о цилиндре. ### Решение задач: **320. Доказательство:** Осевое сечение цилиндра — это сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра. Сторонами этого сечения являются: две образующие цилиндра (они параллельны оси и равны высоте цилиндра $H$) и два диаметра оснований (они лежат в основаниях и перпендикулярны образующим). Так как углы между диаметром основания и образующей прямые ($90^\circ$), то это сечение — прямоугольник. **321. Дано:** $d_{\text{сеч}} = 1,5$ м, $H = 4$ м (диагональ осевого сечения и высота). *Примечание:* Похоже, здесь опечатка в условии (радиус не может быть больше половины диагонали). Если $d_{\text{сеч}} = 5$ м (стандартная задача), то стороны: $H=4$, $D = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$. Тогда $R = 1,5$ м. **322. Дано:** диагональ $d = 48$ см, $\angle = 60^\circ$ (между диагональю и образующей). а) Высота $H = d \cdot \cos 60^\circ = 48 \cdot 0,5 = 24$ см. б) Диаметр $D = d \cdot \sin 60^\circ = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$ см, тогда радиус $R = 12\sqrt{3}$ см. в) Площадь основания $S = \pi R^2 = \pi (12\sqrt{3})^2 = 432\pi$ см$^2$. **323. Дано:** осевое сечение — квадрат, $d = 20$ см. а) Сторона квадрата (высота и диаметр) $a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{20}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2}$ см. Высота $H = 10\sqrt{2}$ см. б) Радиус $R = \frac{a}{2} = 5\sqrt{2}$ см. Площадь основания $S = \pi (5\sqrt{2})^2 = 50\pi$ см$^2$. **324. Дано:** $S_{\text{сеч}} = 10$ м$^2$, $S_{\text{осн}} = 5$ м$^2$. $S_{\text{осн}} = \pi R^2 = 5 \Rightarrow R = \sqrt{\frac{5}{\pi}}$. $S_{\text{сеч}} = 2R \cdot H = 10 \Rightarrow 2\sqrt{\frac{5}{\pi}} \cdot H = 10 \Rightarrow H = 5\sqrt{\frac{\pi}{5}} = \sqrt{5\pi}$ м. **325. Дано:** $S_{\text{осн}} : S_{\text{сеч}} = \sqrt{3}\pi : 4$. $\frac{\pi R^2}{2RH} = \frac{\sqrt{3}\pi}{4} \Rightarrow \frac{R}{2H} = \frac{\sqrt{3}}{4} \Rightarrow \frac{R}{H} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. а) Тангенс угла $\alpha$ между диагональю сечения и основанием: $\tan \alpha = \frac{H}{2R} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Значит, $\alpha = 30^\circ$. б) Угол между диагоналями: если $\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$, то $\alpha = 30^\circ$. Угол между диагоналями прямоугольника $\varphi = 180^\circ - 2\alpha = 120^\circ$ (или смежный $60^\circ$). **326.** Это задача на сечение, параллельное оси. Расстояние до оси $d$, радиус $R$, высота $H$, длина хорды $AB = L$. $L = 2\sqrt{R^2 - d^2}$. а) Если $r=10, d=8, AB=13$, то $13 = 2\sqrt{100-64} = 2\cdot 6 = 12$ (здесь видимо опечатка в условии, $12\neq 13$). б) Если $h=6, r=5, d=8$ (невозможно, так как $d$ не может быть больше $r$ или $d$ должно быть меньше $r$ для сечения). **327. Доказательство:** Сечение плоскостью, параллельной оси, представляет собой прямоугольник. Стороны этого прямоугольника: образующая цилиндра (высота $H$) и хорда основания. Так как сечение параллельно оси, то оно прямоугольное. **328. Дано:** $H=8$ см, $R=5$ см, $d=3$ см. Сторона сечения (хорда) $a = 2\sqrt{R^2 - d^2} = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{16} = 8$ см. Площадь сечения $S = a \cdot H = 8 \cdot 8 = 64$ см$^2$. **Ответ: 64 см$^2$.**