13. (1 балл) Промежутки возрастания и убывания функции.

Привет! Давай разберем твои задания по математике. Вот решения: **Задание 13. Промежутки возрастания и убывания функции $g(x)$** По графику видно, что функция: * возрастает на промежутке: $[-1; 4]$; * убывает на промежутках: $[-2; -1]$ и $[4; 6]$. **Задание 14. При каких значениях $x, g(x) \le 0$** Смотрим, где график лежит ниже оси $OX$ или пересекает её: * $x \in [-2; 1]$. **Задание 15. Вычислите интеграл $\int (11 + 2x) dx$** $\int (11 + 2x) dx = 11x + 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 11x + x^2 + C$. **Задание 16. Решите уравнение $5^{x^2} = 25$** $5^{x^2} = 5^2 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm \sqrt{2}$. **Задание 17. Найдите производную функции $f(x) = 2x^6 - 9\sin x - 8$** $f'(x) = (2 \cdot 6)x^5 - 9\cos x - 0 = 12x^5 - 9\cos x$. **Задание 18. Решите уравнение $2 \operatorname{tg} x = 2$** $\operatorname{tg} x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. **Задание 19. Решите уравнение $2\sin^2 x + 3\cos x = 0$** $2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x = 0 \implies -2\cos^2 x + 3\cos x + 2 = 0 \implies 2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0$. Пусть $t = \cos x, |t| \le 1$. $2t^2 - 3t - 2 = 0$. $D = 9 - 4(2)(-2) = 25$. $t_1 = \frac{3+5}{4} = 2$ (не подходит, $|t| > 1$). $t_2 = \frac{3-5}{4} = -0.5$. $\cos x = -0.5 \implies x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. **Задание 20. Объем второго цилиндра** $V_1 = \pi R_1^2 H_1 = 12$. $V_2 = \pi R_2^2 H_2$. По условию $H_2 = 3H_1$, $R_2 = \frac{R_1}{2}$. $V_2 = \pi (\frac{R_1}{2})^2 \cdot 3H_1 = \pi \cdot \frac{R_1^2}{4} \cdot 3H_1 = \frac{3}{4} (\pi R_1^2 H_1) = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9 \text{ м}^3$. **Задание 21. Решите систему уравнений** 1) $x + 2y = 16 \implies x = 16 - 2y$. 2) $\log_8 y + \log_8 4 = \log_8 (x + 3) \implies \log_8 (4y) = \log_8 (x + 3) \implies 4y = x + 3$. Подставим $x$: $4y = 16 - 2y + 3 \implies 6y = 19 \implies y = \frac{19}{6}$. $x = 16 - 2(\frac{19}{6}) = 16 - \frac{19}{3} = \frac{48 - 19}{3} = \frac{29}{3}$. Ответ: $(\frac{29}{3}; \frac{19}{6})$. **Задание 22. Решите уравнение $\sqrt{4 - 2x} = x - 2$** Возведем в квадрат при условии $x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$. $4 - 2x = (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$. $x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0$. Корни: $x_1 = 0, x_2 = 2$. Проверка: при $x=0$, $\sqrt{4-0} = 2 \neq 0-2$. Не подходит. При $x=2$, $\sqrt{4-4} = 0$, $2-2=0$. Подходит. Ответ: $2$.