№ 1. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 0,7 см и 2,4 см, боковое ребро призмы равно 10 см. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Привет! Давай разберем твою контрольную работу по геометрии: **№1** 1. Находим гипотенузу основания: $c = \sqrt{0,7^2 + 2,4^2} = \sqrt{0,49 + 5,76} = \sqrt{6,25} = 2,5$ см. 2. Периметр основания: $P = 0,7 + 2,4 + 2,5 = 5,6$ см. 3. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = P \cdot H = 5,6 \cdot 10 = 56$ см². 4. Площадь основания: $S_{осн} = 0,5 \cdot 0,7 \cdot 2,4 = 0,84$ см². 5. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн} = 56 + 1,68 = 57,68$ см². **Ответ: 56 см², 57,68 см².** **№2** 1. Радиусы описанных окружностей оснований: $R_1 = \frac{1}{\sqrt{3}}$, $R_2 = \frac{4}{\sqrt{3}}$. 2. Проекция бокового ребра на основание: $a = R_2 - R_1 = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ дм. 3. Высота ($H$) через теорему Пифагора: $H = \sqrt{l^2 - a^2} = \sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4-3} = 1$ дм. **Ответ: 1 дм.** **№3** 1. Диагональ прямоугольного основания: $d = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ см. Расстояние от центра до вершины $d/2 = 5$ см. 2. Высота: $H = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см. **Ответ: 12 см.** **№4** 1. Радиус сечения ($r$) из подобия треугольников: $\frac{r}{10} = \frac{2}{15} \Rightarrow r = \frac{20}{15} = \frac{4}{3}$ см. 2. Площадь сечения: $S = \pi r^2 = \pi \cdot (\frac{4}{3})^2 = \frac{16}{9}\pi \approx 5,58$ см². **Ответ: $\frac{16}{9}\pi$ см².** **№5** 1. Сечение — прямоугольник со сторонами $H=10$ и хордой $2a$. $S = 10 \cdot 2a = 240 \Rightarrow 2a = 24 \Rightarrow a = 12$ дм. 2. Радиус цилиндра через теорему Пифагора: $R = \sqrt{d^2 + a^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = 15$ дм. **Ответ: 15 дм.** **№6** Допущение: Площадь сечения равна $36\pi$ м². 1. Радиус сечения $r$: $\pi r^2 = 36\pi \Rightarrow r = 6$ м. 2. Расстояние до центра: $d = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = 8$ м. **Ответ: 8 м.** **№7** Площадь поверхности фигуры равна сумме площадей всех её граней (внешних и внутренних стенок выреза). Фигура состоит из внешнего параллелепипеда и внутреннего «туннеля». Вычисли площадь каждой из 6 граней (передней, задней, боковых, верхней и нижней), учитывая вырезы. **Ответ: Требуются точные размеры всех граней для финального числа.** **№8** 1. Группируем слагаемые: $(x^2-6x+9) + (y^2+8y+16) + (z^2-4z+4) = -4 + 9 + 16 + 4$. 2. $(x-3)^2 + (y+4)^2 + (z-2)^2 = 25$. **Ответ: Центр (3; -4; 2), радиус 5.** **№9** 1. Центр сферы (0; 0; 0), радиус $R = \sqrt{9} = 3$. 2. Расстояние от точки A до центра сферы: $AO = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + (-2)^2} = \sqrt{36+9+4} = 7$. 3. Расстояние от точки до сферы: $d = AO - R = 7 - 3 = 4$. **Ответ: 4.**