Найти неопределенный интеграл от функции ln^3(x).

Для решения интеграла $\int \ln^3 x \, dx$ воспользуемся методом интегрирования по частям: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Пусть $u = \ln^3 x$, тогда $du = 3 \ln^2 x \cdot \frac{1}{x} \, dx$. Пусть $dv = dx$, тогда $v = x$. 1. Применим формулу: $$\int \ln^3 x \, dx = x \ln^3 x - \int x \cdot 3 \ln^2 x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln^3 x - 3 \int \ln^2 x \, dx$$ 2. Теперь найдем интеграл $\int \ln^2 x \, dx$. Снова по частям: Пусть $u = \ln^2 x$, $du = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \, dx$. Пусть $dv = dx$, $v = x$. $$\int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - \int x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln^2 x - 2 \int \ln x \, dx$$ 3. Интеграл $\int \ln x \, dx$ равен $x \ln x - x$ (известная табличная формула или также по частям). 4. Собираем всё вместе: $$\int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - 2(x \ln x - x) = x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x$$ Подставляем обратно в выражение из пункта 1: $$\int \ln^3 x \, dx = x \ln^3 x - 3(x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x) + C = x \ln^3 x - 3x \ln^2 x + 6x \ln x - 6x + C$$ Ответ: $x(\ln^3 x - 3\ln^2 x + 6\ln x - 6) + C$