2. а) Решите уравнение 2 cos x cos (x + π/4) cos (x - π/4) = cos x + sin 2x.

Давай решим уравнение: **а) Решение:** Используем формулу произведения косинусов: $\cos(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}(\cos(2\alpha) + \cos(2\beta))$. В нашем случае $\alpha = x$, $\beta = \frac{\pi}{4}$, значит: $\cos(x + \frac{\pi}{4}) \cos(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}(\cos 2x + \cos \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}(\cos 2x + 0) = \frac{1}{2} \cos 2x$ Подставим это в исходное уравнение: $2 \cos x \cdot \frac{1}{2} \cos 2x = \cos x + \sin 2x$ $\cos x \cos 2x = \cos x + \sin 2x$ Перенесем всё в левую часть: $\cos x \cos 2x - \cos x - \sin 2x = 0$ Используем формулы $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$: $\cos x (2\cos^2 x - 1) - \cos x - 2\sin x \cos x = 0$ $2\cos^3 x - \cos x - \cos x - 2\sin x \cos x = 0$ $2\cos^3 x - 2\cos x - 2\sin x \cos x = 0$ Разделим на 2 и вынесем $\cos x$ за скобки: $\cos x (\cos^2 x - 1 - \sin x \cos x) = 0$ Так как $\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x$, получаем: $\cos x (-\sin^2 x - \sin x \cos x) = 0$ $-\cos x \sin x (\sin x + \cos x) = 0$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: 1) $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\sin x = 0 \implies x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 3) $\sin x + \cos x = 0 \implies \sin x = -\cos x \implies \text{tg } x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$ **б) Отбор корней на отрезке $[2\pi; 3.5\pi]$:** - Из серии $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$: $2\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le 3.5\pi \implies 1.5 \le k \le 3$. Значит, $k=2, 3$. Корни: $x = 2.5\pi$ и $x = 3.5\pi$. - Из серии $x = \pi n$: $2\pi \le \pi n \le 3.5\pi \implies 2 \le n \le 3.5$. Значит, $n=2, 3$. Корни: $x = 2\pi$ и $x = 3\pi$. - Из серии $x = -\frac{\pi}{4} + \pi m$: $2\pi \le -\frac{\pi}{4} + \pi m \le 3.5\pi \implies 2.25 \le m \le 3.75$. Значит, $m=3$. Корень: $x = 2.75\pi$ (или $\frac{11\pi}{4}$). **Ответ:** а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; \pi n; -\frac{\pi}{4} + \pi m$ ($k, n, m \in \mathbb{Z}$); б) $2\pi; 2.5\pi; 2.75\pi; 3\pi; 3.5\pi$.