1)Найти первообразную функции : f(x) = 10x^9 - 4x^7 + 3x - 4

Привет! Давай решим задания из твоего листа. 1) Чтобы найти первообразную, используем правило интегрирования степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. $F(x) = 10 \cdot \frac{x^{10}}{10} - 4 \cdot \frac{x^8}{8} + 3 \cdot \frac{x^2}{2} - 4x + C = x^{10} - 0.5x^8 + 1.5x^2 - 4x + C$ 2) Вычислим определенный интеграл: $\int_{1}^{4} (x^2 - 5x) dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2}]_1^4 = (\frac{64}{3} - \frac{5 \cdot 16}{2}) - (\frac{1}{3} - \frac{5}{2}) = (\frac{64}{3} - 40) - (\frac{2-15}{6}) = \frac{64 - 120}{3} - (-\frac{13}{6}) = -\frac{56}{3} + \frac{13}{6} = -\frac{112}{6} + \frac{13}{6} = -\frac{99}{6} = -16.5$ 3) Площадь фигуры (параболического сегмента), ограниченной $y = 2x - x^2$ и $y=0$. Точки пересечения с осью $OX$: $x(2-x)=0$, откуда $x=0$ и $x=2$. $S = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx = [x^2 - \frac{x^3}{3}]_0^2 = (4 - \frac{8}{3}) - 0 = \frac{4}{3} \approx 1.33$ 4) Решим уравнения: А) $\sqrt{x} \cdot \sqrt{2 - x} = 2x$. ОДЗ: $x \ge 0$ и $x \le 2$. Возведем обе части в квадрат: $x(2-x) = 4x^2 \Rightarrow 2x - x^2 = 4x^2 \Rightarrow 5x^2 - 2x = 0 \Rightarrow x(5x - 2) = 0$. Корни: $x = 0$ и $x = 0.4$ (оба входят в ОДЗ). Б) $\log_2(x^2 + 4x + 3) = 3$. По определению: $x^2 + 4x + 3 = 2^3 \Rightarrow x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета корни: $x_1 = -5, x_2 = 1$. Проверка ОДЗ ($x^2+4x+3 > 0$): $(-5)^2 + 4(-5) + 3 = 8 > 0$ и $1^2 + 4(1) + 3 = 8 > 0$. Оба корня подходят.