решить уравнение y' - y/x = 2x sin x, y(pi) = 0

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка вида $y' + p(x)y = q(x)$. Уравнение: $y' - \frac{y}{x} = 2x \sin x$ 1. Решим соответствующее однородное уравнение $y' - \frac{y}{x} = 0$: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$ $\ln|y| = \ln|x| + C$ $y_{однор} = Cx$ 2. Используем метод вариации постоянной, полагая $y = C(x) \cdot x$: $y' = C'(x)x + C(x)$ Подставим в исходное уравнение: $C'(x)x + C(x) - \frac{C(x)x}{x} = 2x \sin x$ $C'(x)x = 2x \sin x$ $C'(x) = 2 \sin x$ $C(x) = \int 2 \sin x \, dx = -2 \cos x + C_1$ 3. Общее решение: $y = (-2 \cos x + C_1)x = C_1x - 2x \cos x$ 4. Найдем $C_1$, используя условие $y(\pi) = 0$: $0 = C_1 \cdot \pi - 2 \cdot \pi \cdot \cos(\pi)$ $0 = C_1 \pi - 2 \pi (-1)$ $0 = C_1 \pi + 2 \pi$ $C_1 \pi = -2 \pi \implies C_1 = -2$ Итоговое решение: $y = -2x - 2x \cos x = -2x(1 + \cos x)$.