2. Найти решение задачи Коши: y''+25y = 0 y(0)=3, y'(0)=5

Для решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами $y'' + 25y = 0$ составим характеристическое уравнение: $k^2 + 25 = 0$ $k^2 = -25$ $k_{1,2} = \pm 5i$ Так как корни чисто мнимые ($k = \alpha \pm \beta i$, где $\alpha = 0, \beta = 5$), общее решение имеет вид: $y(x) = C_1 \cos(5x) + C_2 \sin(5x)$ Найдем производную общего решения: $y'(x) = -5C_1 \sin(5x) + 5C_2 \cos(5x)$ Используем начальные условия $y(0) = 3$ и $y'(0) = 5$ для нахождения констант $C_1$ и $C_2$: 1) $y(0) = C_1 \cos(0) + C_2 \sin(0) = 3 \implies C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 0 = 3 \implies C_1 = 3$ 2) $y'(0) = -5C_1 \sin(0) + 5C_2 \cos(0) = 5 \implies -5C_1 \cdot 0 + 5C_2 \cdot 1 = 5 \implies 5C_2 = 5 \implies C_2 = 1$ Подставим найденные значения в общее решение: $y(x) = 3 \cos(5x) + \sin(5x)$ **Ответ:** $y(x) = 3 \cos(5x) + \sin(5x)$.