Найти все первообразные функции f(x):

Привет! Давай разберем эти задания по математике. Это темы "Первообразная" и "Определенный интеграл". ### Задание 1. Найти все первообразные функции: Общая формула первообразной $F(x) = f(x) + C$. Используем таблицу первообразных. 1) $f(x) = x^7 - 3 + 2x$ $F(x) = \frac{x^8}{8} - 3x + x^2 + C$ 2) $f(x) = 2 \sin x - 4 \cos x$ $F(x) = -2 \cos x - 4 \sin x + C$ 3) $f(x) = e^x + 2 - 4 \cos x$ $F(x) = e^x + 2x - 4 \sin x + C$ 4) $f(x) = 4\sqrt{x} + e^x = 4x^{1/2} + e^x$ $F(x) = 4 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + e^x + C = \frac{8}{3}x\sqrt{x} + e^x + C$ 5) $f(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x}} - 5 = 2x^{-1/3} - 5$ $F(x) = 2 \cdot \frac{x^{2/3}}{2/3} - 5x + C = 3\sqrt[3]{x^2} - 5x + C$ ### Задание 2. Доказать, что функции являются первообразными: Функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, если $F'(x) = f(x)$. Проверим $f(x) = 5 \sin x + 5x^4 - 8$. - $F_1'(x) = (-5 \cos x + x^5 - 8x + 3)' = 5 \sin x + 5x^4 - 8$. Верно. - $F_2'(x) = (-5 \cos x + 6x^5 - 8)' = 5 \sin x + 30x^4$. Не является (ошибка в условии задачи для $F_2$ или опечатка). - $F_3'(x) = (-5 \cos x + x^5 - 8x)' = 5 \sin x + 5x^4 - 8$. Верно. ### Задание 3. Площадь криволинейной трапеции: $S = \int_{0}^{2} (x^3 + 1) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_{0}^{2} = (\frac{16}{4} + 2) - 0 = 4 + 2 = 6$. ### Задание 4. Вычислить определенные интегралы: 1) $\int_{0}^{3} 3x^2 dx = [x^3]_{0}^{3} = 27 - 0 = 27$ 2) $\int_{1}^{2} x^{-3} dx = [-\frac{1}{2}x^{-2}]_{1}^{2} = [-\frac{1}{2x^2}]_{1}^{2} = -\frac{1}{8} - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} = 0.375$ 3) $\int_{-1}^{1} (x^3 + x) dx = [\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2}]_{-1}^{1} = (\frac{1}{4} + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{4} + \frac{1}{2}) = 0$ 4) $\int_{0}^{9} (2x - x^{1/2}) dx = [x^2 - \frac{2}{3}x^{3/2}]_{0}^{9} = (81 - \frac{2}{3} \cdot 27) - 0 = 81 - 18 = 63$ 5) $\int_{1}^{3} \frac{1}{2}x^{-2} dx = [-\frac{1}{2x}]_{1}^{3} = -\frac{1}{6} - (-1/2) = -\frac{1}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ 6) $\int_{1}^{3} (3x^2 - x^3) dx = [x^3 - \frac{x^4}{4}]_{1}^{3} = (27 - \frac{81}{4}) - (1 - \frac{1}{4}) = (27 - 20.25) - 0.75 = 6.75 - 0.75 = 6$ 7) $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x dx = [\sin x]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \sin(\pi/2) - \sin(-\pi/2) = 1 - (-1) = 2$ 8) $\int_{1}^{2} (x-1)^{1/2} dx = [\frac{2}{3}(x-1)^{3/2}]_{1}^{2} = \frac{2}{3}(1)^{3/2} - 0 = \frac{2}{3}$ 9) $\int_{-1}^{2} 4 dx = [4x]_{-1}^{2} = 8 - (-4) = 12$ 10) $\int_{2}^{4} (4 - 2x) dx = [4x - x^2]_{2}^{4} = (16 - 16) - (8 - 4) = 0 - 4 = -4$