№ 1. В треугольнике MPK известно, что ∠M = 64°, ∠P = 46°. Укажите верное неравенство:

Здравствуйте! Помогу тебе решить задачи из твоей контрольной работы. **№ 1. В треугольнике MPK известно, что ∠M = 64°, ∠P = 46°. Укажите верное неравенство:** Найдем угол K: ∠K = 180° - (64° + 46°) = 180° - 110° = 70°. Стороны треугольника связаны с противолежащими углами: чем больше угол, тем больше противолежащая сторона. Углы: ∠P (46°) < ∠M (64°) < ∠K (70°). Следовательно, стороны: MK < PK < MP. Верное утверждение: **1) MK > PK** (неверно), **2) РК > РМ** (неверно), **3) МК > РМ** (неверно), **4) РМ > МК** (верно, так как РМ лежит против 70°, а МК против 46°). *Ответ: 4.* **№ 2. Найдите угол DKF, если в треугольнике DEF известно, что ∠EDF = 68°, ∠DEF = 44°. Биссектриса угла EDF пересекает сторону EF в точке K.** Так как DK — биссектриса, она делит угол EDF пополам: ∠EDK = 68° / 2 = 34°. В треугольнике DEK сумма углов 180°: ∠DKE = 180° - (∠EDK + ∠DEK) = 180° - (34° + 44°) = 180° - 78° = 102°. Угол DKF смежный с углом DKE, значит, ∠DKF = 180° - 102° = 78°. *Ответ: 78°.* **№ 3. Найдите расстояние от точки до прямой, если из точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонная, сумма их длин равна 17 см, а их разность равна 1 см.** Пусть $x$ — длина перпендикуляра (расстояние), $y$ — длина наклонной. Система уравнений: $\begin{cases} x + y = 17 \\ y - x = 1 \end{cases}$ Сложим уравнения: $2y = 18 \Rightarrow y = 9$. $x = 17 - 9 = 8$. *Ответ: 8 см.* **№ 4. Найдите гипотенузу. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 42 см.** Пусть $a$ — меньший катет, $c$ — гипотенуза. В треугольнике с углом 60°, другой острый угол равен 30°. Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы: $a = c / 2$. По условию: $c + a = 42 \Rightarrow c + 0.5c = 42 \Rightarrow 1.5c = 42 \Rightarrow c = 42 / 1.5 = 28$. *Ответ: 28 см.* **№ 5. Найдите углы треугольника DMN, если ∠CDE = 68°. Отрезок DM — биссектриса треугольника CDE. Через точку M проведена прямая, параллельная стороне CD и пересекающая сторону DE в точке N.** 1. DM — биссектриса, поэтому ∠CDM = ∠MDE = 68° / 2 = 34°. 2. MN || CD, значит, ∠DMN = ∠CDM = 34° (накрест лежащие углы). 3. В треугольнике DMN: ∠D = 34°, ∠M = 34°. 4. ∠N = 180° - (34° + 34°) = 180° - 68° = 112°. *Ответ: 34°, 34°, 112°.*