1. Решить уравнения а) sin x/3 = sqrt(3)/2

### 1. Решение уравнений a) $\sin\frac{x}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \frac{x}{3} = (-1)^k \frac{\pi}{3} + \pi k \implies x = (-1)^k \pi + 3\pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) $\sqrt{3} \cos x + \sin x = 0 \implies \tan x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ в) $\log_2(5-x) = \log_2(x+4) \implies 5-x = x+4 \implies 2x = 1 \implies x = 0.5$ г) $16^{x-9} = \frac{1}{2} \implies 2^{4(x-9)} = 2^{-1} \implies 4x - 36 = -1 \implies 4x = 35 \implies x = 8.75$ ### 2. Вычисление $4 \arccos\frac{1}{2} + 3 \arcsin 0 = 4 \cdot \frac{\pi}{3} + 3 \cdot 0 = \frac{4\pi}{3}$ ### 4. Решение неравенств a) $\log_3(6x+3) \le 2 \implies 6x+3 \le 9 \implies 6x \le 6 \implies x \le 1$. С учетом ОДЗ ($6x+3 > 0 \implies x > -0.5$): $x \in (-0.5; 1]$ б) $5^{2x-4} < 0.2^{-4x-3} \implies 5^{2x-4} < (5^{-1})^{-4x-3} \implies 2x-4 < 4x+3 \implies -2x < 7 \implies x > -3.5$ ### 5. Координаты векторов $\vec{a}\{-1; 1; 1\}, \vec{c}\{2; -1; -3\}$ - $-\vec{c} = \{-2; 1; 3\}$ - $2\vec{a} + \vec{c} = \{-2; 2; 2\} + \{2; -1; -3\} = \{0; 1; -1\}$ - $\frac{1}{2}\vec{a} = \{-0.5; 0.5; 0.5\}$ ### 6. Скалярное произведение $\vec{a}\{-1; -2; 1\}, \vec{b}\{-3; 2; 0\}$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1 \cdot -3) + (-2 \cdot 2) + (1 \cdot 0) = 3 - 4 + 0 = -1$ ### 7. Производная функции $f(x) = \frac{1}{2}x + 8x^{-1} \implies f'(x) = \frac{1}{2} - 8x^{-2} = \frac{1}{2} - \frac{8}{x^2}$ ### 8. Тангенс угла наклона $f'(x) = 8x - 4x^3$ $k = f'(1) = 8(1) - 4(1)^3 = 4$. Тангенс равен 4. ### 9. Общий вид первообразной $F(x) = \frac{x^6}{6} - x^2 + C$