1. Производные основных функций 2. Вычислить: log3^2 x - 3log3 x - 10 = 0; 3. Вычислить определенный интеграл ∫π/4^π/2 sin 2xdx

Привет! Давай разберем твой экзаменационный билет №16. ### 1. Производные основных функций Вот основные формулы: - $(c)' = 0$, где $c$ — константа. - $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$. - $(e^x)' = e^x$. - $(a^x)' = a^x \cdot \ln a$. - $(\ln x)' = \frac{1}{x}$. - $(\sin x)' = \cos x$. - $(\cos x)' = -\sin x$. - $(\text{tg } x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$. ### 2. Решение логарифмического уравнения Уравнение: $\log_3^2 x - 3\log_3 x - 10 = 0$. Введем замену $t = \log_3 x$: $t^2 - 3t - 10 = 0$. По теореме Виета: $t_1 + t_2 = 3$ $t_1 \cdot t_2 = -10$ Корни: $t_1 = 5, t_2 = -2$. Вернемся к замене: 1) $\log_3 x = 5 \Rightarrow x = 3^5 = 243$. 2) $\log_3 x = -2 \Rightarrow x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$. **Ответ:** $x_1 = 243, x_2 = \frac{1}{9}$. ### 3. Вычисление определенного интеграла Вычислим $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2x \, dx$. Первообразная для $\sin 2x$ равна $-\frac{1}{2} \cos 2x$: $\left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2} \left( \cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) - \cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) \right) = -\frac{1}{2} (\cos \pi - \cos \frac{\pi}{2})$. Так как $\cos \pi = -1$, а $\cos \frac{\pi}{2} = 0$: $-\frac{1}{2} (-1 - 0) = -\frac{1}{2} \cdot (-1) = \frac{1}{2}$. **Ответ:** 0,5.