Решить системы уравнений: 1) {sqrt(x/y) - sqrt(y/x) = 3/2, x + y + xy = 9} ...

Привет! Давай разберем эти системы иррациональных уравнений. Это отличная тренировка для алгебры. Пойдем по порядку. ### 1) $\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} - \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{3}{2} \\ x + y + xy = 9 \end{cases}$ Пусть $t = \sqrt{\frac{x}{y}}$. Тогда $\sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{1}{t}$. Уравнение принимает вид: $t - \frac{1}{t} = \frac{3}{2} \Rightarrow 2t^2 - 3t - 2 = 0$. Корни: $t = 2$ и $t = -1/2$. Так как корень из дроби неотрицателен, берем $t=2$. Значит, $\sqrt{\frac{x}{y}} = 2 \Rightarrow x = 4y$. Подставим во второе: $4y + y + 4y^2 = 9 \Rightarrow 4y^2 + 5y - 9 = 0$. Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = -2.25$. Так как $x=4y$, то $x_1=4$, $x_2=-9$. Проверка области допустимых значений (ОДЗ): $x, y > 0$, поэтому подходит только пара $(4; 1)$. **Ответ: (4; 1)**. ### 2) $\begin{cases} x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = 30 \\ x^2y + xy^2 = 468 \end{cases}$ Обозначим $a = \sqrt{x}, b = \sqrt{y}$. Тогда $a^2b + b^2a = 30 \Rightarrow ab(a+b) = 30$. Второе уравнение: $a^4b^2 + a^2b^4 = 468 \Rightarrow (ab)^2(a^2+b^2) = 468$. Пусть $S = a+b, P = ab$. Тогда $PS = 30 \Rightarrow P = 30/S$. Второе: $P^2(S^2 - 2P) = 468$. Подставим $P$: $(30/S)^2 (S^2 - 60/S) = 468$. После упрощения получим $S^3 = 125$, откуда $S=5$. Тогда $P=6$. Система $a+b=5, ab=6$ дает корни $2$ и $3$. Значит, либо $\sqrt{x}=2, \sqrt{y}=3$ (тогда $x=4, y=9$), либо наоборот $x=9, y=4$. **Ответ: (4; 9), (9; 4)**. ### 3) $\begin{cases} \sqrt[4]{3x-2y+9} + \sqrt[4]{2x+y-6} = 3 \\ \sqrt{3x-2y+9} - \sqrt{2x+y-6} = 3 \end{cases}$ Пусть $u = \sqrt[4]{3x-2y+9}$ и $v = \sqrt[4]{2x+y-6}$. Тогда $\sqrt{3x-2y+9} = u^2$ и $\sqrt{2x+y-6} = v^2$. Система: $\begin{cases} u + v = 3 \\ u^2 - v^2 = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u + v = 3 \\ (u-v)(u+v) = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} u+v=3 \\ u-v=1 \end{cases}$. Складываем: $2u = 4 \Rightarrow u=2$. Вычитаем: $2v = 2 \Rightarrow v=1$. Возвращаем замену: $\sqrt[4]{3x-2y+9} = 2 \Rightarrow 3x-2y+9 = 16 \Rightarrow 3x-2y = 7$. $\sqrt[4]{2x+y-6} = 1 \Rightarrow 2x+y-6 = 1 \Rightarrow 2x+y = 7$. Решаем систему: $y = 7-2x$. Подставим в первое: $3x - 2(7-2x) = 7 \Rightarrow 7x = 21 \Rightarrow x=3$. Тогда $y=1$. **Ответ: (3; 1)**. ### 4) $\begin{cases} \sqrt[3]{\frac{y+1}{x-1}} - 2\sqrt[3]{\frac{x-1}{y+1}} = 1 \\ \sqrt{x+y} + \sqrt{x-y+6} = 4 \end{cases}$ В первом уравнении пусть $t = \sqrt[3]{\frac{y+1}{x-1}}$. Тогда $t - \frac{2}{t} = 1 \Rightarrow t^2 - t - 2 = 0$. Корни $t_1 = 2, t_2 = -1$. 1) Если $t=2$: $\frac{y+1}{x-1} = 8 \Rightarrow y+1 = 8x - 8 \Rightarrow y = 8x - 9$. Подставим во второе уравнение: $\sqrt{x + 8x - 9} + \sqrt{x - (8x - 9) + 6} = 4 \Rightarrow \sqrt{9x - 9} + \sqrt{15 - 7x} = 4$. Возведение в квадрат дает $x=2$. Тогда $y=8(2)-9=7$. 2) Если $t=-1$: $\frac{y+1}{x-1} = -1 \Rightarrow y+1 = -x+1 \Rightarrow y = -x$. Подставим: $\sqrt{x-x} + \sqrt{x-(-x)+6} = 4 \Rightarrow \sqrt{2x+6} = 4 \Rightarrow 2x+6 = 16 \Rightarrow x=5$. Тогда $y=-5$. **Ответ: (2; 7), (5; -5)**.