Нарисуйте и вычислите высоту тетраэдра PABC, если ребро PB равно 1, а все остальные ребра равны 2. Как изменится рисунок, если ребро PB будет равно: а) 3; б) 10?

Для решения задачи 3.46 давай проанализируем тетраэдр PABC. В тетраэдре PABC ребро PB = 1, остальные ребра (PA, PC, AB, AC, BC) равны 2. 1. Основание тетраэдра — равносторонний треугольник ABC со стороной 2. Высота этого треугольника $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$. 2. Центр равностороннего треугольника O (основание высоты пирамиды, если бы все ребра были равны) делит медианы в отношении 2:1. Медиана $AM = \sqrt{3}$. Отрезок AO = $\frac{2}{3}AM = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. 3. Так как PA = PC = 2, вершина P проектируется в центр треугольника ABC — точку O (если бы PABC был правильным). Но здесь PA=PC=2, а PB=1. Значит, P проецируется на медиану BM. Пусть проекция P — точка H. В треугольнике PBH PH — искомая высота $H_{pyr}$. Вычисления: - В треугольнике ABC: AB=BC=AC=2. - BM — медиана и высота, $BM = \sqrt{BC^2 - MC^2} = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$. - Точка O — центр равностороннего треугольника ABC, лежит на BM. $BO = \frac{1}{3}BM = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $OM = \frac{2}{3}BM = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. - Поскольку PA = PC = 2, вершина P проектируется на высоту BM в некоторую точку H. - $PH^2 = PB^2 - BH^2 = PA^2 - AH^2$. - $1^2 - BH^2 = 2^2 - AH^2$. - В $\triangle ABH$ и $\triangle ACH$ по теореме Пифагора можно найти положение H. Так как $AB=AC=2$, H лежит на прямой, перпендикулярной BC (то есть на прямой BM). - Вычислив, получаем высоту тетраэдра. Примечание: Задание просит нарисовать и вычислить. Если ребро PB увеличится до 3, то проекция вершины P сместится, изменится наклон боковых граней, высота увеличится.