18. В фирме работает 100 человек. 80 знают английский язык, 30 – немецкий язык.

### Решение задачи 18 Пусть $N = 100$ — общее число сотрудников, $A$ — множество знающих английский, $B$ — множество знающих немецкий. $|A| = 80$, $|B| = 30$. 1. Используем формулу включений-исключений для объединения множеств: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ Так как $|A \cup B| \le 100$, получаем: $100 \ge 80 + 30 - |A \cap B|$ $100 \ge 110 - |A \cap B|$ $|A \cap B| \ge 10$ Значит, как минимум 10 человек знают оба языка. Утверждение 2 верно. 2. Максимальное число людей, знающих оба языка, ограничено размером меньшего множества (немецкого), то есть $|A \cap B| \le 30$. Утверждение 3 говорит, что "не более 30 человек знают ровно 2 языка". Если $|A \cap B| = 30$, то 30 человек знают оба языка. Это верно. Утверждение 3 верно. 3. Утверждение 1 неверно, так как $|A \cap B|$ может быть равно 10, а не 30. 4. Утверждение 4 неверно, так как $|A \cap B| \ge 10$. **Ответ:** Верные утверждения: 2 и 3. ### Решение задачи 19 Нужно пятизначное число, кратное 15 (значит, кратно 3 и 5) с произведением цифр 90. - Число должно заканчиваться на 0 или 5 (чтобы делиться на 5). - Произведение цифр 90. Множители 90: $9 \times 5 \times 2 \times 1 \times 1 = 90$ или $6 \times 5 \times 3 \times 1 \times 1 = 90$ и т.д. - Возьмем набор цифр {1, 1, 2, 5, 9}. Сумма цифр $1+1+2+5+9 = 18$ (делится на 3, значит, число делится на 3). - Чтобы число делилось на 5, последняя цифра должна быть 5. - Попробуем составить число: 11295. - Проверка: $11295 / 15 = 753$. Делится. Произведение: $1 \times 1 \times 2 \times 9 \times 5 = 90$. **Ответ:** 11295 (или любое другое подходящее, например, 19215). ### Решение задачи 20 Это арифметическая прогрессия, где: $a_1 = 3500$ (оплата за 1-й метр), $d = 800$ (разница в оплате), $n = 15$ (количество метров). Нужно найти сумму $S_{15}$. Формула суммы: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \times n$ $S_{15} = \frac{2 \times 3500 + 800(15-1)}{2} \times 15$ $S_{15} = \frac{7000 + 800 \times 14}{2} \times 15$ $S_{15} = \frac{7000 + 11200}{2} \times 15$ $S_{15} = \frac{18200}{2} \times 15$ $S_{15} = 9100 \times 15 = 136500$ **Ответ:** 136500 рублей.