Вычислите: $2 \sin \frac{\pi}{6} + 2 \cos \frac{\pi}{3}$

Привет! Давай разберем твои задания по математике. Вот решения: 1. Вычислим значение выражения: $2 \sin(\frac{\pi}{6}) + 2 \cos(\frac{\pi}{3}) = 2 \cdot 0,5 + 2 \cdot 0,5 = 1 + 1 = 2$. **Ответ: 2** 2. На графике ищем дни, где количество осадков выше линии 2,0 мм. Это 11-й день (5 мм) и 18-й день (3,5 мм). Всего 2 дня. **Ответ: 2** 3. Так как $\alpha \in (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)$ (четвертая четверть), косинус положителен. $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{2\sqrt{2}}{3})^2 = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$. $\cos \alpha = \frac{1}{3}$. $3 \cos \alpha = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1$. **Ответ: 1** 4. $\cos 2x = \frac{1}{2} \Rightarrow 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$. **Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$** 5. Уравнение $\frac{x+2}{3x-2} = \frac{1}{4}$. По свойству пропорции: $4(x+2) = 1(3x-2) \Rightarrow 4x + 8 = 3x - 2 \Rightarrow x = -10$. **Ответ: -10** 6. $y = \frac{5}{4}x^4 - 6x^2 + 7x - 1$. Производная $y' = 5x^3 - 12x + 7$. При $x=0$: $y'(0) = 5(0)^3 - 12(0) + 7 = 7$. **Ответ: 7** 7. Фигуру можно разбить на два прямоугольных параллелепипеда. Первый (левый): $1 \times 1 \times 2$ (высота 2), объем $2$. Второй (правый): $1 \times 1 \times 1$, объем $1$. Общий объем: $2 + 1 = 3$. **Ответ: 3** 8. Площадь треугольника по клеткам (основание 3, высота 3): $S = 0,5 \cdot 3 \cdot 3 = 4,5$. **Ответ: 4,5** 9. $S(t) = 3t^2 + 5t$. Скорость $v(t) = S'(t) = 6t + 5$. При $t=1$: $v(1) = 6(1) + 5 = 11$ (м/с). **Ответ: 11** 10. Ищем точки пересечения: $x^2 - 2x - 2 = -x^2 + 2 \Rightarrow 2x^2 - 2x - 4 = 0 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0$. Корни $x = -1, x = 2$. Площадь $S = \int_{-1}^{2} ((-x^2 + 2) - (x^2 - 2x - 2)) dx = \int_{-1}^{2} (-2x^2 + 2x + 4) dx = [-\frac{2x^3}{3} + x^2 + 4x]_{-1}^{2} = (-\frac{16}{3} + 4 + 8) - (\frac{2}{3} + 1 - 4) = \frac{20}{3} - (-\frac{7}{3}) = \frac{27}{3} = 9$. **Ответ: 9** 11. $\sin^2 x - 2\sin x = 0 \Rightarrow \sin x(\sin x - 2) = 0$. $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k$. $\sin x = 2$ (корней нет). **Ответ: $\pi k, k \in \mathbb{Z}$**