Отряд из 92 школьников собрался в поход. Из них 47 приготовили бутерброды с колбасой, 38 — с сыром, 42 — с ветчиной, 28 — с колбасой и сыром, 31 — с колбасой и ветчиной, 26 — с сыром и ветчиной.

### Решение задачи 2 (Круги Эйлера-Венна) Для решения воспользуемся формулой включений-исключений для трех множеств. Обозначим множества школьников с бутербродами: - К: с колбасой ($|К|=47$) - С: с сыром ($|С|=38$) - В: с ветчиной ($|В|=42$) Пересечения: - $|К \cap С| = 28$ - $|К \cap В| = 31$ - $|С \cap В| = 26$ - $|К \cap С \cap В| = 25$ Находим количество школьников, взявших хотя бы один бутерброд: $|К \cup С \cup В| = (|К| + |С| + |В|) - (|К \cap С| + |К \cap В| + |С \cap В|) + |К \cap С \cap В|$ $|К \cup С \cup В| = (47 + 38 + 42) - (28 + 31 + 26) + 25 = 127 - 85 + 25 = 67$. Всего в отряде 92 школьника. Те, кто не брал бутерброды (только молоко), составляют: $92 - 67 = 25$. **Ответ: 25 школьников.** ### Решение задачи 3 а) Таблица истинности для $\overline{(X \lor Y) \land X}$ | X | Y | X $\lor$ Y | (X $\lor$ Y) $\land$ X | $\overline{(X \lor Y) \land X}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | б) Таблица истинности для $\overline{(X \Rightarrow Y)} \Leftrightarrow \overline{(X \lor Y)}$ | X | Y | X $\Rightarrow$ Y | $\overline{X \Rightarrow Y}$ | X $\lor$ Y | $\overline{X \lor Y}$ | $\overline{X \Rightarrow Y} \Leftrightarrow \overline{X \lor Y}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | ### Решение задачи 4 Проверка формулы $(P \leftrightarrow Q) \rightarrow (P \Rightarrow Q)$ | P | Q | P $\leftrightarrow$ Q | P $\Rightarrow$ Q | $(P \leftrightarrow Q) \rightarrow (P \Rightarrow Q)$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | Так как во всех строках значение функции истинно (1), формула является **тождественно истинной (тавтологией)**.