Итоговый тест по дисциплине Математика: алгебра и начала анализа; геометрия за 2 семестр обучения. Вариант 1

Привет! Давай разберем твой итоговый тест. Вот решения: 1. Прямая и плоскость пересекаются, если имеют одну общую точку. 2. Прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов. 3. $f'(x) = 6(3x - 4)^5 \cdot 3 = 18(3x - 4)^5$. 4. $f'(x) = x^2 - 6x + 5$. Решим $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета корни: $x_1 = 1, x_2 = 5$. 5. Скорость $v(t) = s'(t) = 4t^3 - 3t^2$. При $t=2$: $v(2) = 4 \cdot 8 - 3 \cdot 4 = 32 - 12 = 20$. 6. $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$. Для $0.999^{100}$, $a=1$: $1^{100} + 100 \cdot 1^{99} \cdot (0.999 - 1) = 1 + 100 \cdot (-0.001) = 1 - 0.1 = 0.9$. 7. Точки минимума функции $f(x)$ — это точки, где производная $f'(x)$ меняет знак с «минуса» на «плюс» (график переходит из-под оси $Ox$ над неё). На отрезке $[-13; 1]$ таких точек 3. 8. $F(x) = \int (3x^2 + \sin x) dx = x^3 - \cos x + C$. 9. $F(x) = \int -5 dx = -5x + C$. 10. $\int_{-1}^{2} (x^2 - 6x + 9) dx = [\frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x]_{-1}^{2} = (\frac{8}{3} - 12 + 18) - (-\frac{1}{3} - 3 - 9) = (\frac{8}{3} + 6) - (-12 - \frac{1}{3}) = \frac{8}{3} + 6 + 12 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + 18 = 3 + 18 = 21$. 11. $\int_{0}^{2} \frac{1}{(2x-1)^2} dx$. Интеграл от $(2x-1)^{-2}$ равен $-\frac{1}{2(2x-1)}$. Подставим пределы: $[-\frac{1}{2(2x-1)}]_{0}^{2} = -\frac{1}{2(3)} - (-\frac{1}{2(-1)}) = -\frac{1}{6} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6} - \frac{3}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$. 12. $S = \int_{1}^{2} x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_{1}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$. 13. Диагональ $d = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$. 14. Если осевое сечение — квадрат со стороной $a$, то диагональ $a\sqrt{2} = 36$. Значит $a = \frac{36}{\sqrt{2}} = 18\sqrt{2}$. Высота $h=18\sqrt{2}$, диаметр $D=18\sqrt{2}$. Радиус $R = 9\sqrt{2}$. 15. Объем параллелепипеда равен $6V$. 16. Размещение 8 человек на 8 местах — это перестановки $P_8 = 8! = 40320$. 17. Всего шаров: $5 + 3 + 4 = 12$. Белых или черных: $5 + 3 = 8$. Вероятность: $\frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.