Итоговый тест по дисциплине Математика: алгебра и начала анализа; геометрия за 2 семестр обучения. Вариант 1

Привет! Давай разберем задания из твоего теста. Так как вопросов много, я буду давать краткие решения по каждому пункту. 1. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, это значит, что они пересекаются (прямая пересекает плоскость). 2. Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом (90°). 3. $f'(x) = 6(3x - 4)^5 \cdot 3 = 18(3x - 4)^5$. 4. $f'(x) = x^2 - 6x + 5$. Решаем $x^2 - 6x + 5 = 0$. Корни: $x = 1, x = 5$. 5. $v(t) = s'(t) = 4t^3 - 3t^2$. При $t=2$: $v(2) = 4(8) - 3(4) = 32 - 12 = 20$. 6. Приближение: $f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a)$. Для $f(x)=x^{100}$, $a=1$. $0,999^{100} \approx 1 + 100 \cdot (-0,001) = 1 - 0,1 = 0,9$. 7. На графике $f'(x)$ ищем смену знака с "-" на "+". Точки минимума на $[-13; 1]$: $x = -11, x = -7, x = -3, x = 1$ (минимум на границе). Всего 4 точки. 8. $F(x) = x^3 - \cos x + C$. 9. $F(x) = -5x + C$. 10. $\int_{-1}^{2} (x^2 - 6x + 9) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 9x \right]_{-1}^{2} = (\frac{8}{3} - 12 + 18) - (-\frac{1}{3} - 3 - 9) = \frac{26}{3} - (-12 - \frac{1}{3}) = \frac{26}{3} + 12 + \frac{1}{3} = 9 + 12 = 21$. 11. $\int_{0}^{2} (2x - 1)^{-2} dx = \left[ -\frac{1}{2(2x-1)} \right]_{0}^{2} = -\frac{1}{2(3)} - (-\frac{1}{2(-1)}) = -\frac{1}{6} - 0,5 = -\frac{2}{3}$. (Примечание: в точке x=0.5 функция разрывна, интеграл расходится, но формально по формуле Ньютона-Лейбница так). 12. $S = \int_{1}^{2} x^2 dx = [\frac{x^3}{3}]_{1}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2,33$. 13. Диагональ $d = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$. 14. Осевое сечение — квадрат со стороной $2r$. Диагональ $d = 2r\sqrt{2} = 36$. $r = \frac{36}{2\sqrt{2}} = \frac{18}{\sqrt{2}} = 9\sqrt{2} \approx 12,7$. 15. Объем параллелепипеда равен $6V$. (Пирамида $B_1ABC$ занимает $1/6$ часть). 16. Размещение 8 человек на 8 местах — это перестановки $P_8 = 8! = 40320$. 17. Всего шаров 12. Белых 5, черных 3. Благоприятных исходов 5+3=8. $P = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.