1. Вычислить неопределенные интегралы: а) ∫ x^4 dx

Привет! Давай решим твою итоговую работу по интегралам. Буду помогать пошагово. ### 1. Вычислить неопределенные интегралы: a) $\int x^4 dx = \frac{x^5}{5} + C$ б) $\int 7\sqrt[5]{x^2} dx = \int 7x^{2/5} dx = 7 \cdot \frac{x^{7/5}}{7/5} + C = 5x^{7/5} + C = 5x\sqrt[5]{x^2} + C$ в) $\int (3x - \frac{1}{2}x^2) dx = \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + C$ г) $\int 3(2x - 3)^2 dx = 3 \int (4x^2 - 12x + 9) dx = 3(\frac{4x^3}{3} - 6x^2 + 9x) + C = 4x^3 - 18x^2 + 27x + C$ д) $\int (\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{2}{\sqrt{x^3}} + 5^x) dx = \tan x - 2 \int x^{-3/2} dx + \frac{5^x}{\ln 5} + C = \tan x - 2 \cdot \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + \frac{5^x}{\ln 5} + C = \tan x + \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{5^x}{\ln 5} + C$ е) $\int \frac{2\sqrt[3]{x} - 3x^2}{x^2} dx = \int (2x^{-5/3} - 3) dx = 2 \cdot \frac{x^{-2/3}}{-2/3} - 3x + C = -3x^{-2/3} - 3x + C = -\frac{3}{\sqrt[3]{x^2}} - 3x + C$ ж) $\int (3x^3 + \frac{5}{\sqrt[3]{x^2}} + 1) dx = \int (3x^3 + 5x^{-2/3} + 1) dx = \frac{3x^4}{4} + 5 \cdot \frac{x^{1/3}}{1/3} + x + C = \frac{3x^4}{4} + 15\sqrt[3]{x} + x + C$ з) $\int (\sin x - \frac{1}{\sin^2 x} + \sqrt{x^3}) dx = -\cos x + \cot x + \int x^{3/2} dx = -\cos x + \cot x + \frac{2}{5}x^{5/2} + C = -\cos x + \cot x + \frac{2}{5}x^2\sqrt{x} + C$ и) $\int e^x(1 - \frac{e^{-x}}{x^2}) dx = \int (e^x - \frac{1}{x^2}) dx = e^x + \frac{1}{x} + C$ к) $\int (3x \cos x^2 - \frac{2}{\sqrt[4]{3x-5}} + e^{5x}) dx = \frac{3}{2}\sin x^2 - 2 \cdot \frac{(3x-5)^{3/4}}{3/4 \cdot 3} + \frac{e^{5x}}{5} + C = \frac{3}{2}\sin x^2 - \frac{8}{9}\sqrt[4]{(3x-5)^3} + \frac{e^{5x}}{5} + C$ ### 2. Вычислить интеграл: $\int_0^{\pi} 3 \sin x dx = 3[-\cos x]_0^{\pi} = 3(-\cos(\pi) - (-\cos 0)) = 3(1 + 1) = 6$ ### 3. Вычислить площадь фигуры ($y=x^3$ и $y=4x$): Найдем точки пересечения: $x^3 = 4x \Rightarrow x(x^2 - 4) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2, x = -2$. Площадь симметрична, найдем для $x > 0$ и удвоим. $S = 2 \int_0^2 (4x - x^3) dx = 2[2x^2 - \frac{x^4}{4}]_0^2 = 2(8 - 4) = 8$ ### 4. Найти первообразную $f(x)=2x-x^3$, проходящую через $M(2; 8)$: $F(x) = \int (2x - x^3) dx = x^2 - \frac{x^4}{4} + C$ $8 = 2^2 - \frac{2^4}{4} + C \Rightarrow 8 = 4 - 4 + C \Rightarrow C = 8$ $F(x) = x^2 - \frac{x^4}{4} + 8$ ### 5. Найти путь со 2-й по 5-ю секунду ($v(t) = 4t^3 - 2t$): $S = \int_2^5 (4t^3 - 2t) dt = [t^4 - t^2]_2^5 = (625 - 25) - (16 - 4) = 600 - 12 = 588$ ### 6. Восстановить $v(t)$ и $S(t)$: $v(t) = \int a(t) dt = \int (5t^4 + 2t - 3t^2) dt = t^5 + t^2 - t^3 + C_1$. $v(0)=11 \Rightarrow C_1=11$. $v(t) = t^5 - t^3 + t^2 + 11$ $S(t) = \int v(t) dt = \int (t^5 - t^3 + t^2 + 11) dt = \frac{t^6}{6} - \frac{t^4}{4} + \frac{t^3}{3} + 11t + C_2$. $S(0)=3 \Rightarrow C_2=3$. $S(t) = \frac{t^6}{6} - \frac{t^4}{4} + \frac{t^3}{3} + 11t + 3$