Решить уравнение: 1) 9^(x+5) = 81^(x+4);

Привет! Давай разберем задания из твоего варианта. ### I часть **1) Решить уравнение: $9^{x+5} = 81^{x+4}$** Представим обе части как степень числа 9: $81 = 9^2$. $9^{x+5} = (9^2)^{x+4} \Rightarrow 9^{x+5} = 9^{2(x+4)}$ Приравниваем показатели: $x + 5 = 2x + 8$ $5 - 8 = 2x - x$ $x = -3$ **Ответ: -3** **2) Решить уравнение: $\log_5(2x + 17) = 1$** По определению логарифма: $2x + 17 = 5^1$. $2x + 17 = 5$ $2x = 5 - 17$ $2x = -12$ $x = -6$ Проверка: $2(-6) + 17 = -12 + 17 = 5 > 0$. Значение подходит. **Ответ: -6** **3) Решить неравенство: $8^{x-3} \ge 64^{6+2x}$** Представим $64 = 8^2$: $8^{x-3} \ge (8^2)^{6+2x} \Rightarrow 8^{x-3} \ge 8^{2(6+2x)}$ Так как основание $8 > 1$, знак сохраняется: $x - 3 \ge 12 + 4x$ $x - 4x \ge 12 + 3$ $-3x \ge 15$ Разделим на -3 (знак меняется на противоположный): $x \le -5$ **Ответ: $x \in (-\infty; -5]$** **4) Найти производную функции: $y = 2x^6 + 9x^2 - 10$** Используем правило $(x^n)' = nx^{n-1}$: $y' = 2 \cdot 6x^5 + 9 \cdot 2x - 0 = 12x^5 + 18x$ **Ответ: $12x^5 + 18x$** **5) Найти производную функции: $y = x^4 \cdot \text{ctg } x$** Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $y' = (x^4)' \cdot \text{ctg } x + x^4 \cdot (\text{ctg } x)' = 4x^3 \cdot \text{ctg } x + x^4 \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = 4x^3 \text{ctg } x - \frac{x^4}{\sin^2 x}$ **Ответ: $4x^3 \text{ctg } x - \frac{x^4}{\sin^2 x}$** **6) Найти производную функции: $y = \frac{3x^5 + 10x^7}{2x-6}$** Используем правило производной частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $u = 3x^5 + 10x^7, u' = 15x^4 + 70x^6$ $v = 2x - 6, v' = 2$ $y' = \frac{(15x^4 + 70x^6)(2x - 6) - (3x^5 + 10x^7) \cdot 2}{(2x - 6)^2} = \frac{30x^5 - 90x^4 + 140x^7 - 420x^6 - 6x^5 - 20x^7}{(2x - 6)^2} = \frac{120x^7 - 420x^6 + 24x^5 - 90x^4}{(2x-6)^2}$ **Ответ: $\frac{120x^7 - 420x^6 + 24x^5 - 90x^4}{(2x-6)^2}$** **7) Найти скорость $v$ и ускорение $a$, если $s = \frac{7}{3}t^3 - 5t^2 + 4t - 2$ и $t = 2$ с.** Скорость: $v(t) = s'(t) = \frac{7}{3} \cdot 3t^2 - 10t + 4 = 7t^2 - 10t + 4$. При $t=2$: $v(2) = 7(2)^2 - 10(2) + 4 = 28 - 20 + 4 = 12$. Ускорение: $a(t) = v'(t) = 14t - 10$. При $t=2$: $a(2) = 14(2) - 10 = 28 - 10 = 18$. **Ответ: $v = 12$ м/с, $a = 18$ м/с$^2$** **8) Найти интеграл: $\int (9x^8 - 13 \cos x) dx$** Используем таблицу интегралов: $\int 9x^8 dx = 9 \cdot \frac{x^9}{9} = x^9$ $\int -13 \cos x dx = -13 \sin x$ Итого: $x^9 - 13 \sin x + C$ **Ответ: $x^9 - 13 \sin x + C$**