Вычислите значение производной функции f(x) = 4x^2 + 3x - 4 в точке x_0 = -1.

8. Вычислите значение производной функции $f(x) = 4x^2 + 3x - 4$ в точке $x_0 = -1$. $f'(x) = (4x^2)' + (3x)' - (4)' = 8x + 3$ $f'(-1) = 8 \cdot (-1) + 3 = -8 + 3 = -5$ Ответ: -5 9. Найдите $\text{tg } \alpha$, если $\cos \alpha = -\frac{10\sqrt{101}}{101}$ и $\alpha \in (0,5\pi; \pi)$. $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{100 \cdot 101}{101^2} = 1 - \frac{100}{101} = \frac{1}{101}$. Так как $\alpha \in (0,5\pi; \pi)$ (II четверть), то $\sin \alpha > 0$. Значит, $\sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{101}} = \frac{1}{\sqrt{101}} = \frac{\sqrt{101}}{101}$. $\text{tg } \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/\sqrt{101}}{-10\sqrt{101}/101} = \frac{1}{\sqrt{101}} \cdot \left(-\frac{101}{10\sqrt{101}}\right) = -\frac{101}{10 \cdot 101} = -\frac{1}{10} = -0,1$. Ответ: -0,1 10. Определите по графику, сколько дней средняя частота пульса пациента была ниже 70 уд./мин. По горизонтальной оси (дни): пульс ниже 70 (линия 70 на графике) наблюдается в интервале от 0 до 1 дня и от 2 до 3 дней, а также после 6 дня. Посмотрим точки пересечения: график ниже 70 на промежутке $[0; 1]$ (день 1) и $[2; 3]$ (день 3), и около дня 7. Если считать целыми сутками, то пульс был ниже 70 в течение 1-го дня, 3-го дня и 7-го дня. Всего 3 дня. Ответ: 3 11. Трахея имеет форму трубки длиной $h = 9$ см, диаметром $d = 1,5$ см. Вычислить объем $V = \pi r^2 h$. Радиус $r = d / 2 = 0,75$ см. $V = 3,14 \cdot (0,75)^2 \cdot 9 = 3,14 \cdot 0,5625 \cdot 9 = 15,89625$. Округляем до целых: 16 см³. Ответ: 16 12. Вероятность положительного анализа при наличии инфекции $P(A|I) = 0,95$. Вероятность ложноположительного анализа при отсутствии инфекции $P(A|\bar{I}) = 0,02$. Доля больных $P(I) = 0,15$, здоровых $P(\bar{I}) = 0,85$. Нужно найти $P(I|A) = \frac{P(A|I)P(I)}{P(A|I)P(I) + P(A|\bar{I})P(\bar{I})}$. $P(I|A) = \frac{0,95 \cdot 0,15}{0,95 \cdot 0,15 + 0,02 \cdot 0,85} = \frac{0,1425}{0,1425 + 0,017} = \frac{0,1425}{0,1595} \approx 0,8934$. Ответ: $\approx 0,89$ 13. $4^{1+x} = 64$. Так как $64 = 4^3$, то $1+x = 3 \Rightarrow x = 2$. Ответ: 2 14. Производная $f'(x)$ равна тангенсу угла наклона касательной. Чем круче касательная (угол больше), тем больше производная. Точка A: касательная убывает, угол тупой, значение отрицательное. Точка B: касательная возрастает, угол острый (малый). Точка C: касательная возрастает, угол острый (большой, крутой). Точка D: касательная убывает, угол тупой, но менее крутой, чем в А. Порядок значений (от меньшего к большему): А, D, B, C (или A, D, B, C в зависимости от конкретных углов на рисунке). Ответ: А: отрицательное, B: положительное, C: положительное, D: отрицательное.