Контрольная работа по теме «Первообразная и интеграл»

1. Вычисление неопределенных интегралов: а) $\int (x^3 - 3x^2 + x - 1)dx = \frac{x^4}{4} - x^3 + \frac{x^2}{2} - x + C$ б) $\int (4 - \cos x)dx = 4x - \sin x + C$ в) $\int (\frac{2}{x^2} + 3x)dx = \int (2x^{-2} + 3x)dx = 2 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C = -\frac{2}{x} + 1,5x^2 + C$ 2. Вычисление определенных интегралов: а) $\int_1^2 (3x^2 + x - 4)dx = [x^3 + \frac{x^2}{2} - 4x]_1^2 = (8 + 2 - 8) - (1 + 0,5 - 4) = 2 - (-2,5) = 4,5$ б) Интеграл $\int_{-1}^2 \frac{dx}{x^3}$ является несобственным, так как подынтегральная функция терпит разрыв в точке $x=0$, принадлежащей отрезку интегрирования. Интеграл расходится. в) Интеграл $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x - \frac{1}{\sin^2 x})dx$ является несобственным, так как функция $\frac{1}{\sin^2 x}$ не определена в точке $x=0$. Интеграл расходится. 3. Вычисление площади фигур: а) $y=2x^2, y=4$. Точки пересечения: $2x^2=4 \Rightarrow x^2=2 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2}$. $S = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} (4 - 2x^2)dx = [4x - \frac{2x^3}{3}]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} = (4\sqrt{2} - \frac{2(2\sqrt{2})}{3}) - (-4\sqrt{2} - \frac{2(-2\sqrt{2})}{3}) = (4\sqrt{2} - \frac{4\sqrt{2}}{3}) - (-4\sqrt{2} + \frac{4\sqrt{2}}{3}) = \frac{8\sqrt{2}}{3} - (-\frac{8\sqrt{2}}{3}) = \frac{16\sqrt{2}}{3} \approx 7,54$ б) $y=2\sin x, y=0, x=0, x=\frac{\pi}{2}$. $S = \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2\sin x dx = [-2\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = -2\cos(\frac{\pi}{2}) - (-2\cos 0) = 0 - (-2) = 2$ в) $y = 3 - 2x - x^2, y = 0, x = 0, x = -2$. Найдем корни параболы: $-(x^2+2x-3)=0 \Rightarrow -(x+3)(x-1)=0$, корни $-3$ и $1$. Функция положительна на интервале $(-2; 0)$. $S = \int_{-2}^0 (3 - 2x - x^2)dx = [3x - x^2 - \frac{x^3}{3}]_{-2}^0 = (0) - (3(-2) - (-2)^2 - \frac{(-8)}{3}) = -(-6 - 4 + \frac{8}{3}) = -(-10 + 2\frac{2}{3}) = 7\frac{1}{3}$