Экзаменационная контрольная работа по предмету «Математика»

Привет! Давай разберем задания из твоей контрольной работы по математике. 1. **Вычислить $\log_2 15 - \log_2 \frac{15}{16}$:** Используем свойство логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$: $\log_2 \frac{15}{15/16} = \log_2 (15 \cdot \frac{16}{15}) = \log_2 16 = \log_2 2^4 = 4$. **Ответ: 4** 2. **Вычислить предел:** $\lim_{x \to 2} \frac{3x^2 - 8x + 4}{5x^2 - 14x + 8}$. Подставим $x=2$: числитель $3(4)-16+4=0$, знаменатель $5(4)-28+8=0$. Неопределенность $0/0$. Разложим на множители: $3x^2 - 8x + 4 = (x-2)(3x-2)$ $5x^2 - 14x + 8 = (x-2)(5x-4)$ Предел: $\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(3x-2)}{(x-2)(5x-4)} = \lim_{x \to 2} \frac{3x-2}{5x-4} = \frac{3(2)-2}{5(2)-4} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. **Ответ: 2/3** 3. **Найти производную:** $y = -8\operatorname{tg} x - \sqrt{5}$. Производная константы $\sqrt{5}$ равна 0. Производная $\operatorname{tg} x$ равна $1/\cos^2 x$. $y' = -8/\cos^2 x$. **Ответ: -8/\cos^2 x** 4. **Найти значение производной в точке $x=2$:** $y = 3x^2 - 2x^3 - \frac{x^4}{8}$. $y' = 6x - 6x^2 - \frac{4x^3}{8} = 6x - 6x^2 - 0,5x^3$. $y'(2) = 6(2) - 6(4) - 0,5(8) = 12 - 24 - 4 = -16$. **Ответ: -16** 5. **Найти производную:** $y = \sqrt[5]{(3x-2)^7} = (3x-2)^{7/5}$. $y' = \frac{7}{5}(3x-2)^{2/5} \cdot (3x-2)' = \frac{7}{5}(3x-2)^{2/5} \cdot 3 = \frac{21}{5}\sqrt[5]{(3x-2)^2}$. **Ответ: 4,2\sqrt[5]{(3x-2)^2}** 6. **Найти стационарные точки:** $y = \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2$. $y' = x^3 - 3x = x(x^2-3) = 0$. $x_1=0, x_2=\sqrt{3}, x_3=-\sqrt{3}$. **Ответ: 0, \sqrt{3}, -\sqrt{3}** 7. **Найти точки экстремума:** $y = x^3 - 6x^2 + 9x$. $y' = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x-1)(x-3)$. Критические точки: $x=1, x=3$. При переходе через 1 производная меняет знак с + на -, значит $x=1$ — максимум. При переходе через 3 с - на +, значит $x=3$ — минимум. **Ответ: $x_{max}=1, x_{min}=3$** 8. **Наименьшее значение $y=1+4x-x^2$ на $[0;2]$:** $y' = 4 - 2x = 0 \Rightarrow x=2$. Проверяем концы: $y(0) = 1 + 0 - 0 = 1$; $y(2) = 1 + 8 - 4 = 5$. Наименьшее значение равно 1. **Ответ: 1** 9. **Угол между касательной в $x_0=1$ и $Ox$:** $f(x) = 4 - \sqrt{3}x^{-1}$. $f'(x) = \sqrt{3}x^{-2} = \frac{\sqrt{3}}{x^2}$. $k = f'(1) = \sqrt{3}$. $k = \operatorname{tg} \alpha$, значит $\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{3}$, $\alpha = 60^\circ$. **Ответ: 60^\circ** 10. **Найти производные:** а) $y=e^{5x+2} \Rightarrow y' = 5e^{5x+2}$ б) $y=5^{x^5-3x+4} \Rightarrow y' = 5^{x^5-3x+4} \cdot \ln 5 \cdot (5x^4-3)$ в) $y=\sin(x^3+x) \Rightarrow y' = \cos(x^3+x) \cdot (3x^2+1)$ **Ответ: 5e^{5x+2}; 5^{x^5-3x+4} \ln 5 (5x^4-3); \cos(x^3+x)(3x^2+1)**