Найти решение системы уравнений 2x - 3y = 5, 3x + 2y = 14.

Привет! Давай решим задания из твоей подборки по порядку. ### 1. Система уравнений $\begin{cases} 2x - 3y = 5 \\ 3x + 2y = 14 \end{cases}$ Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3: $\begin{cases} 4x - 6y = 10 \\ 9x + 6y = 42 \end{cases}$ Складываем уравнения: $13x = 52 \Rightarrow x = 4$ Подставляем $x=4$ в первое уравнение: $2(4) - 3y = 5 \Rightarrow 8 - 3y = 5 \Rightarrow 3y = 3 \Rightarrow y = 1$ **Ответ:** (4; 1). ### 8. Решить уравнение $2\sin^2 x - \sqrt{2}\sin x = 0$ Вынесем $\sin x$ за скобки: $\sin x(2\sin x - \sqrt{2}) = 0$ Произведение равно нулю, когда один из множителей равен 0: 1) $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2) $2\sin x = \sqrt{2} \Rightarrow \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $\pi k; \frac{\pi}{4} + 2\pi k; \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. ### 9. Область определения функции $y = \sqrt{12 - 4x} - \frac{x}{\ln(x - 3)}$ 1) Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $12 - 4x \ge 0 \Rightarrow 4x \le 12 \Rightarrow x \le 3$ 2) Знаменатель не должен равняться нулю: $\ln(x - 3) \neq 0 \Rightarrow x - 3 \neq 1 \Rightarrow x \neq 4$ 3) Аргумент логарифма должен быть положительным: $x - 3 > 0 \Rightarrow x > 3$ Пересечение условий $x \le 3$ и $x > 3$ невозможно. Область определения пуста. **Ответ:** Решений нет (множество пусто). ### 10. Неравенство $\log_5(1,8 - 0,2x) > -1$ ОДЗ: $1,8 - 0,2x > 0 \Rightarrow 0,2x < 1,8 \Rightarrow x < 9$ Решение: $1,8 - 0,2x > 5^{-1}$ $1,8 - 0,2x > 0,2$ $1,6 > 0,2x \Rightarrow x < 8$ С учетом ОДЗ ($x < 9$), получаем $x < 8$. **Ответ:** $(-\infty; 8)$. ### 11. Наибольшее значение функции $y = (x - 2)^2(x - 4) + 5$ на отрезке $[1; 3]$ Находим производную: $y' = 2(x - 2)(x - 4) + (x - 2)^2 = (x - 2)(2x - 8 + x - 2) = (x - 2)(3x - 10)$ Приравняем к нулю: $x_1 = 2, x_2 = 10/3 \approx 3,33$ Точка $x=2$ принадлежит отрезку $[1; 3]$, $x=10/3$ — нет. Считаем значения на границах и в точке экстремума: $y(1) = (1 - 2)^2(1 - 4) + 5 = 1 \cdot (-3) + 5 = 2$ $y(2) = (2 - 2)^2(2 - 4) + 5 = 0 + 5 = 5$ $y(3) = (3 - 2)^2(3 - 4) + 5 = 1 \cdot (-1) + 5 = 4$ Наибольшее значение — 5. **Ответ:** 5. ### 12. Смесь (задача про растворы) Пусть $x$ л — первого раствора (0,5%), $y$ л — второго (2%). Всего нам нужно 30 л 1,5% раствора. Система: $\begin{cases} x + y = 30 \\ 0,005x + 0,02y = 0,015 \cdot 30 \end{cases}$ $\begin{cases} x = 30 - y \\ 0,005(30 - y) + 0,02y = 0,45 \end{cases}$ $0,15 - 0,005y + 0,02y = 0,45$ $0,015y = 0,3 \Rightarrow y = 20$ $x = 30 - 20 = 10$ **Ответ:** 10 л первого раствора и 20 л второго.